Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=integral x1+x^9 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin de
f(x)=integral x1+x^9,dx e o raio de convergência. Vamos usar séries geométricas conhecidas e integração termo a termo.

Passo 2

Aplique a série geométrica 1/(1+u)=sumk=0^infty(-1)^k u^k válida para |u|<1. Aqui fazemos u=x^9, então:
11+x^9=sumk=0^infty(-1)^k x^9k

Passo 3

Multiplique a expansão por x para obter o integrando:
x1+x^9=xsumk=0^infty(-1)^k x^9k= sumk=0^infty(-1)^k x^9k+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo, usando integral x^9k+1,dx=x^9k+29k+2. Assim:
f(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^9k+29k+2+C

Passo 5

O raio de convergência vem da condição |x^9|<1, ou seja, |x|<1.

Resposta

f(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^9k+29k+2+C, R=1

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