Calcule a integral de linha de \mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\mathbf{3 x y i} \boldsymbol{+}\left(\mathbf{4} \mathbf{x}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{-} \mathbf{3 y} \boldsymbol{)} \boldsymbol{j}\right. sobre a curva C , onde C é a parábola \mathbf{y}=\mathbf{x}^{\mathbf{2}} de (-1,1) a (4,16).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (peguei tudo do enunciado).
  • Pede: calcular a integral de linha da campo vetorial \mathbf{F} sobre a curva C.
  • Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y)=3xy\,\mathbf{i}+\bigl(4x^{2}-3y\bigr)\,\mathbf{j}.
  • Curva C: é a parábola y=x^{2} que vai do ponto (-1,1) até o ponto (4,16).
Portanto a integral que queremos é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (aula rápida).
  • Para calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva dada explicitamente por y=f(x), o método padrão é parametrizar a curva e usar a fórmula
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt,
onde \mathbf{r}(t) é uma parametrização de C com t variando de a até b.
  • Explicando essa fórmula em palavras: primeiro escrevemos cada ponto da curva como função de um parâmetro t, depois substituímos essas funções no campo \mathbf{F} para obter \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)); calculamos a velocidade \mathbf{r}'(t) e o produto escalar entre \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) e \mathbf{r}'(t). Por fim integramos esse produto escalar em t.
  • Observação útil: antes de parametrizar às vezes checamos se o campo é conservativo (o que permitiria usar uma primitiva), mas aqui não é o caso porque
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3xy\bigr)=3x\quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{2}-3y\bigr)=8x,
e como 3x\neq8x em geral, o campo não é conservativo — logo a parametrização é o caminho adequado.

Passo 3

Escolher e explicar a parametrização.
  • A curva é dada por y=x^{2}. A parametrização natural é tomar x=t e y=t^{2}. Assim
\mathbf{r}(t)=\bigl(t,\,t^{2}\bigr).
  • Precisamos que t comece em -1 (correspondente a (-1,1)) e termine em 4 (correspondente a (4,16)). Portanto t\in[-1,4].

Passo 4

Calcular a derivada da parametrização \mathbf{r}'(t).
  • Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\bigl(1,\,2t\bigr).
  • Significado: dx/dt=1 e dy/dt=2t. Essas quantidades entram no produto escalar com o campo.

Passo 5

Substituir a parametrização em \mathbf{F} para obter \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
  • Substituindo x=t e y=t^{2} em cada componente de \mathbf{F}:
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=3(t)(t^{2})\,\mathbf{i}+\bigl(4t^{2}-3t^{2}\bigr)\,\mathbf{j} =3t^{3}\,\mathbf{i}+\bigl(t^{2}\bigr)\,\mathbf{j}.
  • Observe que a segunda componente simplificou porque 4t^{2}-3t^{2}=t^{2}.

Passo 6

Formar o integrando fazendo o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
  • Produto escalar em componentes:
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) = \bigl(3t^{3}\bigr)\cdot(1) + \bigl(t^{2}\bigr)\cdot(2t).
  • Simplificando:
3t^{3} + 2t^{3} = 5t^{3}.
  • Portanto a integral de linha vira a integral de uma função de t:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{-1}^{4}5t^{3}\,dt.

Passo 7

Calcular a integral usando a regra da potência (aula rápida sobre integração).
  • Regra da potência: para n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aplicando com n=3 e fator constante 5:
\int_{-1}^{4}5t^{3}\,dt = 5\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{-1}^{4} = \frac{5}{4}\bigl(t^{4}\bigr)\Big|_{-1}^{4}.
  • Avaliando nos limites:
\frac{5}{4}\bigl(4^{4}-(-1)^{4}\bigr) =\frac{5}{4}\bigl(256-1\bigr) =\frac{5}{4}\cdot 255.
  • Simplificando o produto:
\frac{5\cdot255}{4}=\frac{1275}{4}.
  • Se preferir em decimal, \dfrac{1275}{4}=318{,}75.

Resposta

\dfrac{1275}{4}

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