Calcule a integral de linha de
sobre a curva C , onde C é a parábola
de
a
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (peguei tudo do enunciado).
- Pede: calcular a integral de linha da campo vetorial
sobre a curva . - Campo vetorial:
- Curva
: é a parábola que vai do ponto até o ponto .
Portanto a integral que queremos é
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (aula rápida).
- Para calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva dada explicitamente por
, o método padrão é parametrizar a curva e usar a fórmula
onde
é uma parametrização de
com
variando de
até
.
- Explicando essa fórmula em palavras: primeiro escrevemos cada ponto da curva como função de um parâmetro
, depois substituímos essas funções no campo para obter ; calculamos a velocidade e o produto escalar entre e . Por fim integramos esse produto escalar em . - Observação útil: antes de parametrizar às vezes checamos se o campo é conservativo (o que permitiria usar uma primitiva), mas aqui não é o caso porque
e como
em geral, o campo não é conservativo — logo a parametrização é o caminho adequado.
Passo 3
Escolher e explicar a parametrização.
- A curva é dada por
. A parametrização natural é tomar e . Assim
- Precisamos que
comece em (correspondente a ) e termine em (correspondente a ). Portanto .
Passo 4
Calcular a derivada da parametrização
.
- Derivando componente a componente:
- Significado:
e . Essas quantidades entram no produto escalar com o campo.
Passo 5
Substituir a parametrização em
para obter
.
- Substituindo
e em cada componente de :
- Observe que a segunda componente simplificou porque
.
Passo 6
Formar o integrando fazendo o produto escalar
.
- Produto escalar em componentes:
- Simplificando:
- Portanto a integral de linha vira a integral de uma função de
:
Passo 7
Calcular a integral usando a regra da potência (aula rápida sobre integração).
- Regra da potência: para
,
- Aplicando com
e fator constante :
- Avaliando nos limites:
- Simplificando o produto:
- Se preferir em decimal,
.