Seja
.
a) Mostre que F é um campo conservativo.
b) Calcule integral de linha de
sobre o segmento de reta de
a (
).
a) Mostre que F é um campo conservativo.
b) Calcule integral de linha de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
As perguntas são:
(a) Mostrar que é (ou não é) um campo conservativo.
(b) Calcular a integral de linha de ao longo do segmento de reta que vai de
até
.
(a) Mostrar que
(b) Calcular a integral de linha de
Vou primeiro verificar se
é conservativo (parte (a)). Só depois calculo a integral sobre o segmento (parte (b)).
Passo 2
Lembrete didático curto e necessário (porque é importante para a prova):
- Um campo vetorial
de classe num domínio simplesmente conexo é conservativo se, e só se, o rotacional (curl) de for nulo, isto é . - O rotacional em coordenadas cartesianas é
onde, por exemplo,
, etc.
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente (passo a passo) e verificar se o rotacional é nulo.
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente (passo a passo) e verificar se o rotacional é nulo.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais necessárias (mostrando cada conta):
- Primeiro, computei derivadas de
:
- Agora, as derivadas de
:
Derivando em
(produto em
):
Derivando em
:
- Finalmente, as derivadas de
:
Passo 4
Monte o rotacional usando as derivadas encontradas:
Substituindo:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
Passo 5
Interpretação didática e conclusão da parte (a):
- Se
fosse conservativo em um domínio que contenha pontos com , teríamos em tal domínio. Mas o rotacional acima não é a função nula (por exemplo, para a primeira componente é ). - Logo,
não é um campo conservativo (o rotacional não é identicamente zero).
Isso responde a (a): não é conservativo. Mesmo sendo as funções componentes
, o rotacional é não nulo, então não existe uma potencial global.
Passo 6
Agora parte (b): cálculo da integral de linha ao longo do segmento de reta de
a
.
Primeiro, parametrize o segmento: vetor diretor
. Uma parametrização natural é
Assim
e
A integral de linha é
Passo 7
Calcule
e o produto escalar:
- Como
fixo, substituo nas componentes:
(Escrevo
e
abreviando
quando fica claro.)
O termo em
não contribui porque
. Então
Substituindo:
Expanda e reorganize os termos:
Passo 8
Agora escrevo a integral e faço manipulações úteis:
Defina
. Observa-se que
Reescrevendo
(pois
). Assim
Portanto a integral separa-se:
Integro termo a termo:
Calcule
e
:
portanto
O termo com
é simples porque
é linear. Faço a substituição
, logo
Isto é
Assim, juntando tudo, temos
Ou seja
Passo 9
Expressão do termo restante
em forma fechada com funções especiais (passo de técnica):
- Reescrevendo em termos de
(porque varia de até ): temos e (verificação: ). - Assim
e
Para escrever essa integral em termos da função erro imaginária
(uma expressão padrão para integrais de
) complete o quadrado:
então
Fazendo a mudança
dá uma expressão em termos de
. Após simplificar obtemos a expressão exata
(Observação rápida:
é a versão “imaginária” da função erro, adequada aqui porque aparece
em vez de
.)
Passo 10
Portanto a integral de linha pode ser escrita em forma fechada com
. Reunindo tudo:
com a integral restante igual à expressão com
dada no passo anterior; substituindo explicitamente,
Se preferir uma aproximação numérica (útil em provas quando aceitam número):
- Avaliando numericamente a expressão encontra-se aproximadamente
onde o valor numérico do termo integral foi obtido por cálculo numérico da integral (ou pela avaliação das
).
Resposta
(a)
não é conservativo:
(b)
(b)