Calcule a integral de linha oint(x^3 y^2+3 x) d s, onde C é a curva C: r(t)=2 t i+3 t j, t in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha ointC (x^3y^2+3x),ds, onde a curva C é dada por r(t) = (2t,3t), 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha em relação ao comprimento de arco, e vamos precisar parametricamente substituir x e y e determinar ds.

Passo 2

Parametrizando x e y): temos x(t)=2t e y(t)=3t. Substituindo na função integranda:
x^3y^2+3x = (2t)^3,(3t)^2 + 3,(2t) = 8t^3cdot9t^2 +6t = 72t^5 +6t

Passo 3

Calculando ds: como dx/dt=2 e dy/dt=3,
ds = raiz(dx/dt)^2+(dy/dt)^2,dt = raiz4+9,dt = raiz13,dt

Passo 4

Montando e resolvendo a integral:
integralC (x^3y^2+3x),ds = integral0^1(72t^5+6t),raiz13,dt = raiz13integral0^1(72t^5+6t),dt Integrando:
raiz13l[72t^66 +6t^22r]0^1 = raiz13[12t^6+3t^2]0^1 = raiz13(12+3) =15raiz13

Resposta

15\sqrt{13}

Exercícios relacionados