Use séries de potências para encontrar os primeiros termos da solução geral de
. Analise a convergência da série obtida e justifique a derivação termo a termo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1.º ordem y′(x)−2x y(x)=2x usando série de potências em torno de x=0. O conteúdo envolvido é: desenvolver y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n, derivar termo a termo, inserir na ED, comparar coeficientes e achar a_{n}.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série de potências centrada em 0:
Derivando termo a termo (justificaremos depois), temos
Passo 3
Substituímos na equação y′−2x y=2x. Primeiro escrevemos cada série com a mesma potência de x:
Para y′: m=n−1 ⇒
Para y′: m=n−1 ⇒
Para 2x y:
Passo 4
A ED torna-se
Escrevemos o RHS como
Passo 5
Igualamos coeficientes de cada potência x^m:
Para m=0:
Para m=0:
Para m≥1:
Passo 6
Do caso m=1:
Para m≥2 (b_m=0):
Passo 7
Calculamos os primeiros termos:
– a_0 é constante livre C;
– a_1=0;
– a_2=1+C;
– a_3=2a_1/3=0;
– a_4=2a_2/4=(1+C)/2;
– a_5=0;
– a_6=2a_4/6=(1+C)/6.
– a_0 é constante livre C;
– a_1=0;
– a_2=1+C;
– a_3=2a_1/3=0;
– a_4=2a_2/4=(1+C)/2;
– a_5=0;
– a_6=2a_4/6=(1+C)/6.
Passo 8
Logo a série fica
Passo 9
Reconhecendo a soma da série de exp( x^2 ), vemos que para k≥1
$$a_{2k}=\frac{1+C}{k!},\quad a_{2k+1}=0.
$$
Passo 10
Podemos reescrever a solução geral como
A série tem raio de convergência ∞ (fatoriais no denominador) e, por convergir uniformemente em qualquer compacto, justifica-se a derivação termo a termo pelo teorema de derivação de séries de potências.
Resposta
A solução geral em série é
que equivale a
O raio de convergência é ∞ e a derivação termo a termo é justificada pela convergência uniforme em compatos.