Use séries de potências para encontrar os primeiros termos da solução geral de y^prime(x)-2 x y(x)=2 x. Analise a convergência da série obtida e justifique a derivação termo a termo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1.º ordem y′(x)−2x y(x)=2x usando série de potências em torno de x=0. O conteúdo envolvido é: desenvolver y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n, derivar termo a termo, inserir na ED, comparar coeficientes e achar a_{n}.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série de potências centrada em 0:
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Derivando termo a termo (justificaremos depois), temos
y'(x)=sumn=1^infty n,an x^n-1

Passo 3

Substituímos na equação y′−2x y=2x. Primeiro escrevemos cada série com a mesma potência de x:
Para y′: m=n−1 ⇒
y'(x)=summ=0^infty (m+1)am+1x^m
Para 2x y:
2x,y=2sumn=0^infty an x^n+1=2summ=1^infty am-1x^m

Passo 4

A ED torna-se
summ=0^infty(m+1)am+1x^m -2summ=1^infty am-1x^m =2x
Escrevemos o RHS como 2x=summ=0^infty bm x^m, onde b_1=2 e b_m=0 para m≠1.

Passo 5

Igualamos coeficientes de cada potência x^m:
Para m=0:
(0+1)a1= b0=0 implies a1=0
Para m≥1:
(m+1)am+1-2am-1=bm

Passo 6

Do caso m=1:
2a2-2a0=2 implies a2=1+a0
Para m≥2 (b_m=0):
am+1=2am-1m+1

Passo 7

Calculamos os primeiros termos:
– a_0 é constante livre C;
– a_1=0;
– a_2=1+C;
– a_3=2a_1/3=0;
– a_4=2a_2/4=(1+C)/2;
– a_5=0;
– a_6=2a_4/6=(1+C)/6.

Passo 8

Logo a série fica
y(x)=a0 +a2x^2 +a4x^4 +a6x^6+cdots =C+(1+C)l(x^2+x^42+x^66+cdotsr)

Passo 9

Reconhecendo a soma da série de exp( x^2 ), vemos que para k≥1
$$a_{2k}=\frac{1+C}{k!},\quad a_{2k+1}=0.
a2k=1+Ck!, a2k+1=0 y(x)=C+(1+C)\sum_{k=1}\infty\frac{x{2k}}{k!}=C+(1+C)(e{x2}-1).
$$

Passo 10

Podemos reescrever a solução geral como
y(x)=K e^x^2-1, K=1+C constante de integraçãoçã
A série tem raio de convergência ∞ (fatoriais no denominador) e, por convergir uniformemente em qualquer compacto, justifica-se a derivação termo a termo pelo teorema de derivação de séries de potências.

Resposta

A solução geral em série é
y(x)=C+(1+C)x^2+1+C2x^4+1+C6x^6+cdots,
que equivale a
y(x)=K e^x^2-1, Kin R
O raio de convergência é ∞ e a derivação termo a termo é justificada pela convergência uniforme em compatos.

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