Use séries de potências para encontrar a solução geral de
. Analise a convergência da série obtida e justifique a derivação termo a termo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y′–y = x² usando séries de potências, ou seja, conteúdo de equações diferenciais lineares e séries de Taylor, assumindo que y é analítica.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série centrada em 0:
Então
Passo 3
Substituindo em y′–y = x² e igualando coeficientes de x^n, obtemos para todo n ≥ 0:
Passo 4
Da relação acima vem a recorrência
onde
Passo 5
Compute-se os primeiros termos:
- Para n=0:
- Para n=1:
- Para n=2:
Para n≥3, como, vale , o que reproduz o comportamento de na parte homogênea.
Passo 6
Para obter a parte particular polinomial (série que trunca), escolhemos
. Isso faz
,
e então
, e todos os
seguintes são zero. Logo
y_p(x)=-2-2x-x^2.
y_p(x)=-2-2x-x^2.
Passo 7
O termo geral da solução é a soma da parte homogênea e da particular. Como a escolha genérica de
pode ser escrita como
, a parte homogênea gera
então
y(x)=C e^x -x^2-2x-2.
Passo 8
Para analisar convergência, note que a série de
tem raio de convergência infinito e o polinômio converge em todo
. Logo a série geral converge para todo
.
Passo 9
A derivação termo a termo é justificada porque a série resultante (soma de uma série de raio infinito com polinômio) converge uniformemente em qualquer intervalo compacto de
(teste de Weierstrass), permitindo a diferenciação termo a termo.
Resposta
y(x)=C e{x}-x{2}-2x-2