Use séries de potências para encontrar a solução geral de y^prime-y=x^2. Analise a convergência da série obtida e justifique a derivação termo a termo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y′–y = x² usando séries de potências, ou seja, conteúdo de equações diferenciais lineares e séries de Taylor, assumindo que y é analítica.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série centrada em 0:
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n

Passo 3

Substituindo em y′–y = x² e igualando coeficientes de x^n, obtemos para todo n ≥ 0:
(n+1)an+1-an=1,&n=2,0,&nne2

Passo 4

Da relação acima vem a recorrência
an+1=an+de
onde de se n=2 e 0 caso contrário. Note que só a0 é livre, como esperado para uma EDO de 1ª ordem.

Passo 5

Compute-se os primeiros termos:
  • Para n=0: a1=a0/1=a0
  • Para n=1: a2=a1/2=a0/2
  • Para n=2: a3=(a2+1)/3=a0/(6)+1/3
    Para n≥3, como de, vale an+1=an/(n+1), o que reproduz o comportamento de e^x na parte homogênea.

Passo 6

Para obter a parte particular polinomial (série que trunca), escolhemos a0=-2. Isso faz a1=-2, a2=-1 e então a3=(−1+1)/3=0, e todos os an seguintes são zero. Logo
y_p(x)=-2-2x-x^2.

Passo 7

O termo geral da solução é a soma da parte homogênea e da particular. Como a escolha genérica de a0 pode ser escrita como a0=-2+C, a parte homogênea gera
yh(x)=C,e^x,
então
y(x)=C e^x -x^2-2x-2.

Passo 8

Para analisar convergência, note que a série de e^x tem raio de convergência infinito e o polinômio converge em todo R. Logo a série geral converge para todo xin R.

Passo 9

A derivação termo a termo é justificada porque a série resultante (soma de uma série de raio infinito com polinômio) converge uniformemente em qualquer intervalo compacto de R (teste de Weierstrass), permitindo a diferenciação termo a termo.

Resposta

y(x)=C e{x}-x{2}-2x-2

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