Use séries de potências para encontrar os primeiros termos da solução geral de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências e encontrar os primeiros termos da solução geral, sabendo que
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e séries de potências. Vamos precisar expandir
em uma série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Isso significa que estamos tentando expressar
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
:
Simplificando, podemos reescrever a derivada como:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original
:
Passo 5
Distribuindo
dentro da soma:
Vamos reindexar a primeira soma para alinhar os índices:
Passo 6
Agora, combinamos as somas por poderes de
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Para que essa soma seja igual a zero para todo
, cada coeficiente deve ser zero:
Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 8
Vamos aplicar a condição inicial
. Substituindo
na série:
Então,
.
Passo 9
Usando a relação de recorrência, para
:
Isso não nos dá restrição para
, então
pode ser qualquer valor. Vamos chamá-lo de
, onde
é uma constante.
Passo 10
Como para
,
, a série termina nos primeiros termos:
Resposta
Os primeiros termos da solução geral são
, onde
é uma constante.