Use séries de potências para encontrar os primeiros termos da solução geral de (x-3) y^prime+2 y=0, y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial (x-3) y' + 2 y = 0 usando séries de potências e encontrar os primeiros termos da solução geral, sabendo que y(0) = 1. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e séries de potências. Vamos precisar expandir y em uma série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências centrada em x=0:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Isso significa que estamos tentando expressar y(x) como uma soma infinita de termos envolvendo potências de x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de y(x):
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Simplificando, podemos reescrever a derivada como:
y'(x) = sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n

Passo 4

Vamos substituir y(x) e y'(x) na equação original (x-3) y' + 2 y = 0:
(x - 3) ( sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n ) + 2 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0

Passo 5

Distribuindo (x - 3) dentro da soma:
sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n+1 - 3 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos reindexar a primeira soma para alinhar os índices:
sumn=1^infty n an x^n - 3 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 6

Agora, combinamos as somas por poderes de x^n:
sumn=0^infty [ n an - 3 (n) an + 2 an ] x^n = 0
Simplificando os coeficientes:
sumn=0^infty [ (n - 3n + 2) an ] x^n = 0
sumn=0^infty [ (-2n + 2) an ] x^n = 0

Passo 7

Para que essa soma seja igual a zero para todo x, cada coeficiente deve ser zero:
-2n an + 2 an = 0
(-2n + 2) an = 0
Isso nos dá a relação de recorrência:
an (2 - 2n) = 0 implies an = 0 se n neq 1

Passo 8

Vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1. Substituindo x=0 na série:
y(0) = a0 = 1
Então, a0 = 1.

Passo 9

Usando a relação de recorrência, para n=1:
a1 (2 - 2 cdot 1) = 0 implies 0 cdot a1 = 0
Isso não nos dá restrição para a1, então a1 pode ser qualquer valor. Vamos chamá-lo de a1 = C, onde C é uma constante.

Passo 10

Como para n > 1, an = 0, a série termina nos primeiros termos:
y(x) = a0 + a1 x = 1 + C x

Resposta

Os primeiros termos da solução geral são y(x) = 1 + C x, onde C é uma constante.

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