Calcule a integral de linha:
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
Informações fornecidas:
- A forma da forma diferencial:
com e . - A integral é sobre uma curva fechada
(o símbolo indica isso).
Informação que falta e que é essencial:
- Não foi especificada qual é a curva
nem a região fechada por (nem sua orientação). Sem essa informação não se pode obter um valor numérico da integral, porque o valor depende da região encerrada por .
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática do conceito usado).
Para integrais de linha fechadas do tipo é muito útil o Teorema de Green, quando
é a fronteira orientada positivamente de uma região plana
simples (região simplesmente conexa com fronteira reta ou curva regular). O Teorema de Green afirma que, sob condições de regularidade:
Para integrais de linha fechadas do tipo
O lado direito é uma integral dupla sobre a região
limitada por
. Isso transforma uma integral de linha em uma integral de área — muitas vezes mais fácil de calcular, especialmente quando
e
têm derivadas simples.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem em Green (passo a passo).
Escrevendo de forma mais conveniente:
Escrevendo
Agora calculo as derivadas parciais:
Para
uso a regra da cadeia:
Cheque: a multiplicação por
vem do expoente ao derivar
, e o sinal negativo e o fator
permanecem.
Passo 4
Aplicar o Teorema de Green e simplificar a integranda.
Substituindo em Green:
Substituindo em Green:
Portanto, se
é a fronteira orientada positivamente de uma região
, então
Isto transforma a integral de linha fechada em uma integral de área sobre
.
Passo 5
Interpretação prática e como proceder caso a região
seja conhecida.
A integral agora depende totalmente da região . Pode-se expandir a integranda para ligar com quantidades geométricas conhecidas:
A integral agora depende totalmente da região
Aqui:
-
é a área de , denotada por . -
é o primeiro momento em (relacionado à coordenada -do centróide). -
é o momento de segunda ordem em .
Se for dada uma região concreta
(por exemplo, um retângulo, um círculo, etc.), calcula-se essas três integrais diretamente com integrais simples e obtém‑se o valor numérico. Como exemplo ilustrativo (para ver como se faz na prática): se
fosse o quadrado unitário
, então
Substituindo:
Logo, nesse caso específico
. Mas isso é só um exemplo: o valor muda com
.
Passo 6
Conclusão (o que é possível afirmar sem mais dados).
- Não é possível dar um número definitivo para
sem saber qual é a curva (ou a região que ela limita) e sua orientação. - Se
for a fronteira orientada positivamente de uma região , a integral vale a integral dupla acima, que é a forma prática para calcular quando for conhecida.
Resposta
Não é possível calcular numericamente sem a especificação da curva
.
Se for a fronteira orientada positivamente de uma região
, então
Se