Calcule a integral de linha:
\oint_{C}-\left(\frac{y-1}{3}\right)^{3} d x+d y=?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} -\left(\frac{y-1}{3}\right)^{3}\,dx + dy.
Informações fornecidas:
  • A forma da forma diferencial: P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y) = -\left(\dfrac{y-1}{3}\right)^{3} e Q(x,y)=1.
  • A integral é sobre uma curva fechada C (o símbolo \oint indica isso).
Informação que falta e que é essencial:
  • Não foi especificada qual é a curva C nem a região fechada por C (nem sua orientação). Sem essa informação não se pode obter um valor numérico da integral, porque o valor depende da região encerrada por C.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática do conceito usado).
Para integrais de linha fechadas do tipo \oint_C P\,dx+Q\,dy é muito útil o Teorema de Green, quando C é a fronteira orientada positivamente de uma região plana D simples (região simplesmente conexa com fronteira reta ou curva regular). O Teorema de Green afirma que, sob condições de regularidade:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
O lado direito é uma integral dupla sobre a região D limitada por C. Isso transforma uma integral de linha em uma integral de área — muitas vezes mais fácil de calcular, especialmente quando P e Q têm derivadas simples.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem em Green (passo a passo).
Escrevendo P de forma mais conveniente:
P(x,y) = -\left(\frac{y-1}{3}\right)^{3} = -\frac{1}{27}(y-1)^{3}.
Agora calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(1) = 0.
Para \dfrac{\partial P}{\partial y} uso a regra da cadeia:
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{27}\cdot 3 (y-1)^{2} = -\frac{1}{9}(y-1)^{2}.
Cheque: a multiplicação por 3 vem do expoente ao derivar (y-1)^{3}, e o sinal negativo e o fator 1/27 permanecem.

Passo 4

Aplicar o Teorema de Green e simplificar a integranda.
Substituindo em Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 0 -\left(-\frac{1}{9}(y-1)^{2}\right)=\frac{1}{9}(y-1)^{2}.
Portanto, se C é a fronteira orientada positivamente de uma região D, então
\oint_{C} -\left(\frac{y-1}{3}\right)^{3}\,dx + dy = \iint_{D}\frac{1}{9}(y-1)^{2}\,dA.
Isto transforma a integral de linha fechada em uma integral de área sobre D.

Passo 5

Interpretação prática e como proceder caso a região D seja conhecida.
A integral agora depende totalmente da região D. Pode-se expandir a integranda para ligar com quantidades geométricas conhecidas:
\frac{1}{9}\iint_{D}(y-1)^{2}\,dA = \frac{1}{9}\left(\iint_{D}y^{2}\,dA - 2\iint_{D}y\,dA + \iint_{D}1\,dA\right).
Aqui:
  • \iint_{D}1\,dA é a área de D, denotada por A(D).
  • \iint_{D}y\,dA é o primeiro momento em y (relacionado à coordenada y-do centróide).
  • \iint_{D}y^{2}\,dA é o momento de segunda ordem em y.
Se for dada uma região concreta D (por exemplo, um retângulo, um círculo, etc.), calcula-se essas três integrais diretamente com integrais simples e obtém‑se o valor numérico. Como exemplo ilustrativo (para ver como se faz na prática): se D fosse o quadrado unitário [0,1]\times[0,1], então
A(D)=1,\qquad \iint_{D} y\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} y\,dx\,dy = \frac{1}{2},\qquad \iint_{D} y^{2}\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} y^{2}\,dx\,dy = \frac{1}{3}.
Substituindo:
\frac{1}{9}\left(\frac{1}{3} - 2\cdot\frac{1}{2} + 1\right)=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27}.
Logo, nesse caso específico \oint_C \cdots = \dfrac{1}{27}. Mas isso é só um exemplo: o valor muda com D.

Passo 6

Conclusão (o que é possível afirmar sem mais dados).
  • Não é possível dar um número definitivo para \displaystyle \oint_{C} -\left(\frac{y-1}{3}\right)^{3}\,dx + dy sem saber qual é a curva C (ou a região D que ela limita) e sua orientação.
  • Se C for a fronteira orientada positivamente de uma região D, a integral vale a integral dupla acima, que é a forma prática para calcular quando D for conhecida.

Resposta

Não é possível calcular numericamente sem a especificação da curva C.
Se C for a fronteira orientada positivamente de uma região D, então
\oint_{C} -\left(\frac{y-1}{3}\right)^{3}\,dx + dy = \frac{1}{9}\iint_{D}(y-1)^{2}\,dA.

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