Questão 6

Mostre que \mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}+4 \mathrm{x}^{2}+4 não possui raízes reais e encontre duas raízes complexas.
Objetivo:
  • Compreender raízes complexas e conjugadas.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio Q(x)=x^{4}+4x^{2}+4 e pede duas coisas:
  • Mostrar que Q(x) não possui raízes reais.
  • Encontrar duas raízes complexas (isto é, duas raízes com parte imaginária não nula).
Informações explícitas relevantes que temos:
  • É um polinômio de grau 4.
  • Os coeficientes são reais: 1 para x^{4}, 4 para x^{2} e 4 termo constante.

Passo 2

Observação útil (substituição): a expressão envolve apenas potências pares de x — isto é, x^{4} e x^{2} — então é natural fazer a substituição
y = x^{2},
para reduzir o polinômio a uma quadrática em y. Substituindo obtemos
Q(x)=y^{2}+4y+4.
Explicar a ideia: substituir y=x^{2} transforma o problema de achar raízes em x num problema mais simples em y. Depois voltamos a x.

Passo 3

Fatorar ou completar o quadrado a quadrática em y. Note que
y^{2}+4y+4 = (y+2)^{2},
porque ao expandir (y+2)^{2} obtém-se y^{2}+2\cdot y\cdot 2 + 2^{2}=y^{2}+4y+4.
A explicação passo a passo de completar o quadrado (caso fosse necessário): para y^{2}+4y+4, metade do coeficiente de y é 2, e 2^{2}=4 — exatamente o termo constante — portanto é um quadrado perfeito.

Passo 4

Voltar à variável x. Como y=x^{2}, temos
Q(x)=(x^{2}+2)^{2}.
Verificação rápida: expandindo (x^{2}+2)^{2} obtém-se x^{4}+4x^{2}+4, que é Q(x).

Passo 5

Mostrar que não há raízes reais. Se x for real então x^{2}\ge 0, logo x^{2}+2\ge 2>0. Então (x^{2}+2)^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}. Assim Q(x)>0 para todo x\in\mathbb{R} e nunca é zero; portanto não há raízes reais.
Alternativamente, da fatoração Q(x)=(x^{2}+2)^{2}, qualquer raiz deve satisfazer x^{2}+2=0, isto é x^{2}=-2, o que não tem solução em \mathbb{R}. Mesmo raciocínio, só que via equação direta.

Passo 6

Encontrar as raízes complexas. Resolver x^{2}+2=0:
x^{2}=-2.
Tomando raiz quadrada no campo complexo, obtém-se
x=\pm\sqrt{-2}=\pm i\sqrt{2},
onde i é a unidade imaginária com i^{2}=-1. Portanto as soluções são x=i\sqrt{2} e x=-i\sqrt{2}.

Passo 7

Comentário sobre conjugados e multiplicidade (para entender o que acontece na prática e para citar na prova).
  • Como os coeficientes de Q(x) são reais, as raízes complexas aparecem em pares conjugados: se a+bi é raiz então a-bi também é. No nosso caso as duas raízes encontradas são conjugadas entre si: i\sqrt{2} e -i\sqrt{2}.
  • Pela forma Q(x)=(x^{2}+2)^{2} cada uma dessas raízes tem multiplicidade 2 (cada uma é uma raiz dupla), de modo que contando multiplicidades o polinômio possui quatro raízes no corpo dos complexos, como exige o Teorema Fundamental da Álgebra.
Dica prática para prova: ao ver x^{4}+4x^{2}+4 — pense em x^{2} como uma variável nova; busque quadrados perfeitos. Isso costuma tornar a questão muito curta.

Resposta

Não possui raízes reais.
As duas raízes complexas distintas são x=i\sqrt{2} e x=-i\sqrt{2} (cada uma com multiplicidade 2).

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