Questão 6
Mostre que
não possui raízes reais e encontre duas raízes complexas.
Objetivo:
- Compreender raízes complexas e conjugadas.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede duas coisas:
- Mostrar que
não possui raízes reais. - Encontrar duas raízes complexas (isto é, duas raízes com parte imaginária não nula).
Informações explícitas relevantes que temos:
- É um polinômio de grau
. - Os coeficientes são reais:
para , para e termo constante.
Passo 2
Observação útil (substituição): a expressão envolve apenas potências pares de
— isto é,
e
— então é natural fazer a substituição
para reduzir o polinômio a uma quadrática em
. Substituindo obtemos
Explicar a ideia: substituir
transforma o problema de achar raízes em
num problema mais simples em
. Depois voltamos a
.
Passo 3
Fatorar ou completar o quadrado a quadrática em
. Note que
porque ao expandir
obtém-se
.
A explicação passo a passo de completar o quadrado (caso fosse necessário): para
, metade do coeficiente de
é
, e
— exatamente o termo constante — portanto é um quadrado perfeito.
Passo 4
Voltar à variável
. Como
, temos
Verificação rápida: expandindo
obtém-se
, que é
.
Passo 5
Mostrar que não há raízes reais. Se
for real então
, logo
. Então
para todo
. Assim
para todo
e nunca é zero; portanto não há raízes reais.
Alternativamente, da fatoração
, qualquer raiz deve satisfazer
, isto é
, o que não tem solução em
. Mesmo raciocínio, só que via equação direta.
Passo 6
Encontrar as raízes complexas. Resolver
:
Tomando raiz quadrada no campo complexo, obtém-se
onde
é a unidade imaginária com
. Portanto as soluções são
e
.
Passo 7
Comentário sobre conjugados e multiplicidade (para entender o que acontece na prática e para citar na prova).
- Como os coeficientes de
são reais, as raízes complexas aparecem em pares conjugados: se é raiz então também é. No nosso caso as duas raízes encontradas são conjugadas entre si: e . - Pela forma
cada uma dessas raízes tem multiplicidade (cada uma é uma raiz dupla), de modo que contando multiplicidades o polinômio possui quatro raízes no corpo dos complexos, como exige o Teorema Fundamental da Álgebra.
Dica prática para prova: ao ver
— pense em
como uma variável nova; busque quadrados perfeitos. Isso costuma tornar a questão muito curta.
Resposta
Não possui raízes reais.
As duas raízes complexas distintas são e
(cada uma com multiplicidade
).
As duas raízes complexas distintas são