Questão 3

Uma empresa modela o lucro por \mathrm{L}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+12. Zeros representam o ponto de equilíbrio.
a) Verifique pelo Teorema do Resto se \mathrm{x}=2 é raiz.
b) Encontre outro valor que zere o lucro.
c) Interprete no contexto.
Objetivo:
  • Relacionar polinômios ao cotidiano.

Passo 1

O enunciado dá a função lucro
L(x)=x^{3}-4x^{2}-2x+12
e diz que zeros da função representam pontos de equilíbrio (lucro zero). As perguntas são:
  • (a) Verificar pelo Teorema do Resto se x=2 é raiz de L(x).
  • (b) Encontrar outro valor que zere o lucro.
  • (c) Interpretar os resultados no contexto (o que esses zeros significam para a empresa).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de L(x) (polinômio cúbico) está dada.
  • Zeros da função correspondem a pontos de equilíbrio (lucro igual a zero).

Passo 2

Explicando o Teorema do Resto de forma simples e prática: se um polinômio f(x) é dividido por (x-a), o resto dessa divisão é exatamente f(a). Em particular, x=a é raiz de f (ou seja, x-a é fator) se e somente se f(a)=0.
Por que isso é verdade (intuição fácil): ao dividir f(x) por (x-a) obtemos
f(x)=(x-a)q(x)+r,
onde q(x) é o quociente e r é o resto, que é um número (grau menor que 1). Fazendo x=a anula o primeiro termo e resta f(a)=r. Logo o resto é f(a). Portanto, para testar se x=a é raiz basta calcular f(a).
Exemplo rápido (mini-aula): para f(x)=x^{2}-1, dividir por x-1 dá resto f(1)=1^{2}-1=0, então x=1 é raiz.

Passo 3

Aplicando o Teorema do Resto ao nosso caso: calcular L(2). Substituir x=2 em L(x) e calcular cada termo passo a passo.
L(2)=2^{3}-4\cdot 2^{2}-2\cdot 2+12.
Calcule os termos:
2^{3}=8,\qquad 4\cdot 2^{2}=4\cdot 4=16,\qquad 2\cdot 2=4.
Agora monte:
L(2)=8-16-4+12.
Compute em ordem:
8-16=-8,\qquad -8-4=-12,\qquad -12+12=0.
Portanto L(2)=0.

Passo 4

Conclusão da parte (a): como L(2)=0, pelo Teorema do Resto x=2 é raiz de L(x). Ou seja, (x-2) é um fator do polinômio.

Passo 5

Agora vamos usar essa informação para fatorar L(x) e encontrar as outras raízes. Como (x-2) é fator, podemos dividir L(x) por (x-2) para obter o quociente, que será um polinômio de grau 2. Vou mostrar a divisão de forma prática usando a divisão sintética (mais rápida em prova).
Montagem com os coeficientes de L(x): 1 (de x^{3}), -4 (de x^{2}), -2 (de x), 12 (termo constante). Colocamos o número 2 (a raiz) à esquerda e procedemos:
  • Baixa o 1 diretamente (esse será coeficiente do x^{2} no quociente).
  • Multiplica 2 por 1 dando 2; soma com -4 obtendo -2.
  • Multiplica 2 por -2 dando -4; soma com -2 obtendo -6.
  • Multiplica 2 por -6 dando -12; soma com 12 obtendo 0 (resto, confirma que é raiz).
Isso nos dá o quociente com coeficientes 1,\,-2,\,-6, ou seja o polinômio
x^{2}-2x-6.
Logo a fatoração completa é
L(x)=(x-2)\bigl(x^{2}-2x-6\bigr).

Passo 6

Agora encontramos as raízes do fator quadrático x^{2}-2x-6=0. Vamos aplicar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são dadas por
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes da equação.
No nosso caso a=1, b=-2, c=-6. Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-6)=4+24=28.
Portanto as raízes são
x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{28}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm\sqrt{28}}{2}.
Simplificando \sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}, temos
x=\dfrac{2\pm 2\sqrt{7}}{2}=1\pm\sqrt{7}.
Assim as duas raízes do quadrático são \,x=1+\sqrt{7}\, e \,x=1-\sqrt{7}\,.

Passo 7

Resultado numérico aproximado (útil para interpretar contexto): como \sqrt{7}\approx 2,646,
1+\sqrt{7}\approx 3,646,\qquad 1-\sqrt{7}\approx -1,646.

Passo 8

Interpretação no contexto (parte c) e observações de prova:
  • Zeros de L(x) são pontos de equilíbrio (lucro zero). Encontramos as três raízes do polinômio cúbico: x=2,\qquad x=1+\sqrt{7}\approx 3,646,\qquad x=1-\sqrt{7}\approx -1,646.
  • Se x representa quantidade de produto/vendas (uma variável que só faz sentido para valores não-negativos), então os pontos de equilíbrio realizáveis são x=2 e x\approx3,646. A raiz negativa \approx -1,646 é solução matemática da equação, mas não tem interpretação prática se x for quantidade física (é um artefato do modelo matemático).
  • Dica para prova: para verificar rapidamente se um número inteiro a é raiz, calcule L(a) (Teorema do Resto). Se for raiz, faça divisão sintética por (x-a) para obter o quadrático restante e resolva por Bhaskara.

Resposta

(a) Sim. L(2)=0, logo x=2 é raiz.
(b) Outros valores que zeram L: x=1+\sqrt{7} e x=1-\sqrt{7} (aprox. 3,646 e -1,646).
(c) Zeros representam pontos de equilíbrio (lucro zero). Os pontos fisicamente relevantes (se x for quantidade não negativa) são x=2 e x\approx3,646; a raiz negativa não é aplicável como quantidade.

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