Questão 3
Uma empresa modela o lucro por
. Zeros representam o ponto de equilíbrio.
a) Verifique pelo Teorema do Resto se
é raiz.
b) Encontre outro valor que zere o lucro.
c) Interprete no contexto.
Objetivo:
- Relacionar polinômios ao cotidiano.
a) Verifique pelo Teorema do Resto se
b) Encontre outro valor que zere o lucro.
c) Interprete no contexto.
Passo 1
O enunciado dá a função lucro
e diz que zeros da função representam pontos de equilíbrio (lucro zero). As perguntas são:
- (a) Verificar pelo Teorema do Resto se
é raiz de . - (b) Encontrar outro valor que zere o lucro.
- (c) Interpretar os resultados no contexto (o que esses zeros significam para a empresa).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(polinômio cúbico) está dada. - Zeros da função correspondem a pontos de equilíbrio (lucro igual a zero).
Passo 2
Explicando o Teorema do Resto de forma simples e prática: se um polinômio
é dividido por
, o resto dessa divisão é exatamente
. Em particular,
é raiz de
(ou seja,
é fator) se e somente se
.
Por que isso é verdade (intuição fácil): ao dividir
por
obtemos
onde
é o quociente e
é o resto, que é um número (grau menor que 1). Fazendo
anula o primeiro termo e resta
. Logo o resto é
. Portanto, para testar se
é raiz basta calcular
.
Exemplo rápido (mini-aula): para
, dividir por
dá resto
, então
é raiz.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Resto ao nosso caso: calcular
. Substituir
em
e calcular cada termo passo a passo.
Calcule os termos:
Agora monte:
Compute em ordem:
Portanto
.
Passo 4
Conclusão da parte (a): como
, pelo Teorema do Resto
é raiz de
. Ou seja,
é um fator do polinômio.
Passo 5
Agora vamos usar essa informação para fatorar
e encontrar as outras raízes. Como
é fator, podemos dividir
por
para obter o quociente, que será um polinômio de grau 2. Vou mostrar a divisão de forma prática usando a divisão sintética (mais rápida em prova).
Montagem com os coeficientes de
:
(de
),
(de
),
(de
),
(termo constante). Colocamos o número
(a raiz) à esquerda e procedemos:
- Baixa o
diretamente (esse será coeficiente do no quociente). - Multiplica
por dando ; soma com obtendo . - Multiplica
por dando ; soma com obtendo . - Multiplica
por dando ; soma com obtendo (resto, confirma que é raiz).
Isso nos dá o quociente com coeficientes
, ou seja o polinômio
Logo a fatoração completa é
Passo 6
Agora encontramos as raízes do fator quadrático
. Vamos aplicar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação
, as raízes são dadas por
onde
,
,
são os coeficientes da equação.
No nosso caso
,
,
. Calcule o discriminante:
Portanto as raízes são
Simplificando
, temos
Assim as duas raízes do quadrático são
e
.
Passo 7
Resultado numérico aproximado (útil para interpretar contexto): como
,
Passo 8
Interpretação no contexto (parte c) e observações de prova:
- Zeros de
são pontos de equilíbrio (lucro zero). Encontramos as três raízes do polinômio cúbico: - Se
representa quantidade de produto/vendas (uma variável que só faz sentido para valores não-negativos), então os pontos de equilíbrio realizáveis são e . A raiz negativa é solução matemática da equação, mas não tem interpretação prática se for quantidade física (é um artefato do modelo matemático). - Dica para prova: para verificar rapidamente se um número inteiro
é raiz, calcule (Teorema do Resto). Se for raiz, faça divisão sintética por para obter o quadrático restante e resolva por Bhaskara.
Resposta
(a) Sim.
, logo
é raiz.
(b) Outros valores que zeram
:
e
(aprox.
e
).
(c) Zeros representam pontos de equilíbrio (lucro zero). Os pontos fisicamente relevantes (se
for quantidade não negativa) são
e
; a raiz negativa não é aplicável como quantidade.