Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
fC x z d s ; G: x=6 t, y=3 raizz t^2, z=2 t^3, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,z;ds
ao longo da curva C parametrizada por
G(t)=l(x(t),y(t),z(t)r) =(6t,;3raizz,t^2,;2t^3), 0<= t<=1
O conteúdo usado é a definição de integral de linha de função escalar:
integralC f(x,y,z),ds =integrala^b fl(x(t),y(t),z(t)r),llVert G'(t)rrVert,dt

Passo 2

Expressamos y(t) inteiramente em função de t. Como z(t)=2t^3, temos
raizz(t)=raiz2t^3=raiz2,t^3/2,
logo
y(t)=3raizz(t),t^2 =3raiz2;t^3/2;t^2 =3raiz2;t^7/2

Passo 3

Calculamos as derivadas componentes:
x'(t)=ddt(6t)=6, y'(t) =ddtl(3raiz2,t^7/2r) =3raiz2,72,t^5/2 =21raiz22;t^5/2, z'(t)=ddt(2t^3)=6t^2

Passo 4

O elemento de comprimento é
ds =llVert G'(t)rrVert,dt =raiz(x')^2+(y')^2+(z')^2,dt =raiz6^2 +l(tfrac21raiz22t^5/2r)^2 +(6t^2)^2;dt
Simplificando os termos sob a raiz:
(x')^2=36, (y')^2=4414cdot2,t^5=4412t^5, (z')^2=36,t^4,
logo
ds =raiz36+36,t^4+4412,t^5;dt

Passo 5

A função a ser integrada é f(x,y,z)=x,z. Em termos de t:
x(t),z(t) =(6t),(2t^3) =12,t^4

Passo 6

Substituindo em integral0^1x(t),z(t),lVert G'(t)rVert,dt, obtemos a integral
integralC x,z,ds =integral0^112,t^4 ;raiz36+36,t^4+4412,t^5;dt

Passo 7

Essa integral não admite primitiva elementar, mas pode ser aproximada numericamente. Usando, por exemplo, regra de Simpson com poucos subintervalos, encontra-se
integral0^112,t^4 raiz36+36,t^4+tfrac4412,t^5,dt approx30,7

Resposta

integralC x,z,ds =integral0^112,t^4 raiz36+36,t^4+4412,t^5;dt approx30,7

Exercícios relacionados