For each of the described curves, decide if the curve would be more easily given by a polar equation or a Cartesian equation. Then write an equation for the curve.
A line through the origin that makes an angle of pi / 6 with the positive x-axis

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pela origem e faz um ângulo de pi/6 com o eixo x. O conteúdo envolvido é a representação de curvas em coordenadas cartesianas e polares e a escolha do sistema mais conveniente.

Passo 2

Em coordenadas polares, um ponto qualquer da reta que faz ângulo constante phi com o eixo x satisfaz
theta = phi,
pois todos os pontos têm o mesmo ângulo polar. Já em coordenadas cartesianas a mesma reta seria
y = (tanphi),x,
o que exige calcular a inclinação tanphi.

Passo 3

Como phi = pi/6 e tan(pi/6)=1/raiz3, a forma polar
theta = pi6
é bem mais direta do que a forma cartesiana y = tfrac1raiz3,x.

Resposta

A forma mais fácil é a polar:
theta = pi6

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