Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x y^2 z d s,
C é o segmento de reta de (1,0,1) a (0,3,6)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC x,y^2,z,ds
onde C é o segmento de reta de (1,0,1) a (0,3,6).
O conteúdo envolvido é parametrização de curva no espaço e uso da fórmula
integralCf(x,y,z),ds = integrala^bfl(r(t)r),|r'(t)|,dt.

Passo 2

Parametrizamos o segmento C por
r(t) = (1,0,1) + tl((-1),3,5r) = (1 - t,,3t,,1 + 5t), 0 <= t <= 1

Passo 3

Calculamos a derivada e seu módulo:
r'(t) = (-1,3,5), |r'(t)| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 5^2 = raiz35
Logo ds = raiz35,dt.

Passo 4

Substituindo x=1-t, y=3t, z=1+5t e ds na integral, obtemos
integralC x,y^2,z,ds = integral0^1 (1-t),(3t)^2,(1+5t),raiz35,dt

Passo 5

Expandindo o integrando:
(1-t)(3t)^2(1+5t) = 9t^2(1+4t-5t^2) = 9t^2 + 36t^3 - 45t^4
Então
integral0^1(9t^2 + 36t^3 - 45t^4),dt = l[3t^3 + 9t^4 - 9t^5r]0^1 = 3 + 9 - 9 = 3
Multiplicando por raiz35, o resultado é 3raiz35.

Resposta

3raiz35

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