Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x^3 y^2 z d z, C: x=2 t, y=t^2, z=t^2, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da 1-forma omega = x^3y^2z,dz ao longo da curva C dada por
x=2t, y=t^2, z=t^2, 0<= t<=1
Para resolver integrals de linha de uma forma omega=P,dx+Q,dy+R,dz parametricamente, basta substituir as coordenadas na forma e usar dz=dzdt,dt.

Passo 2

Substituímos na forma x^3y^2z e calculamos dz.
x^3 = (2t)^3 = 8t^3, y^2 = (t^2)^2 = t^4, z = t^2,
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x^3y^2z = 8t^3cdot t^4cdot t^2 = 8t^9
Além disso
dz = ddt(t^2),dt = 2t,dt
Portanto o integrando fica
x^3y^2z,dz = 8t^9cdot2t,dt = 16,t^10,dt

Passo 3

Integramos de t=0 a t=1:
integralC x^3y^2z,dz = integral0^116,t^10,dt =16[t^1111]0^1 =1611

Resposta

1611

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