Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
fC y d s ; in: x equiv t^3, y=t^2, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC y,ds
onde C é dada pela parametrização
x(t)=t^3, y(t)=t^2, 0<= t<=1
O conteúdo é integral de linha de função escalar; vamos usar a fórmula
ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas da parametrização:
x'(t)=3t^2, y'(t)=2t
Logo
ds=raiz(3t^2)^2+(2t)^2,dt =raiz9t^4+4t^2,dt =traiz9t^2+4,dt,
pois em [0,1] temos t>=0.

Passo 3

Substituindo y(t)=t^2 e ds na integral, obtemos
integralC y,ds =integral0^1t^2l(traiz9t^2+4r),dt =integral0^1t^3raiz9t^2+4,dt

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u=9t^2+4Longrightarrow du=18t,dtLongrightarrow t,dt=du18
Note que t^2=(u-4)/9, então
t^3,dt = t^2,(t,dt)=u-49,du18=u-4162,du
Os limites em t=0,1 viram u(0)=4 e u(1)=13. Assim
integral0^1t^3raiz9t^2+4,dt =integral4^13u-4162,u^1/2,du =1162integral4^13l(u^3/2-4u^1/2r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^3/2,du=25u^5/2, integral u^1/2,du=23u^3/2
Logo
integral4^13l(u^3/2-4u^1/2r),du =[25u^5/2-83u^3/2]4^13 =494raiz13+12815
Multiplicando por 1/162 e simplificando, obtemos
integralC y,ds =494raiz13+1282430 =247raiz13+641215

Resposta

247raiz13+641215

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