Obtenha a solução geral para a equação.
14. x d yd x+3(y+x^2)=sen xx

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
xdydx + 3l(y + x^2r) = sen xx
Este é um caso de equação linear em y. Vamos recordar que, para uma equação da forma
dydx + P(x),y = Q(x),
o método é encontrar o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx e depois escrever a equação como
ddxl(mu,yr)=mu,Q(x)

Passo 2

Começamos isolando dfracdydx. Dividindo toda a equação por xneq0, obtemos
dydx + 3x,y = sen xx^2 - 3x
Aqui P(x)=3/x e Q(x)=sen x/x^2 - 3x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 3x,dxr) = expl(3ln|x|r) = x^3

Passo 4

Multiplicamos a equação por x^3:
x^3dydx + 3x^2,y = x^3l(sen xx^2-3xr) = x,sen x - 3x^4
O lado esquerdo reconhece-se como derivada de produto:
ddxl(x^3,yr) = x,sen x - 3x^4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3,y = integrall(x,sen x - 3x^4r),dx = integral x,sen x,dx ;-; 3integral x^4,dx
Usando integração por partes em integral x,sen x,dx,
integral x,sen x,dx = -xcos x + sin x + C1, integral x^4,dx = x^55,
logo
x^3,y = l(-xcos x + sin xr) - 3cdotx^55 + C,
onde juntamos constantes em uma única C.

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y(x) = -xcos x + sin x - tfrac3x^55 + Cx^3 = -cos xx^2 + sin xx^3 - 35,x^2 + C,x^-3

Resposta

boxedy(x) = -cos xx^2 + sin xx^3 - 35,x^2 + Cx^3,
onde C é constante arbitrária.

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