Identify the curve by finding a Cartesian equation for the curve.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 2sintheta + 2costheta
e pede uma equação cartesiana. Para isso vamos usar as relações
;r^2 = x^2 + y^2,;rsintheta = y,;rcostheta = x.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação polar por r:
r^2 = 2rsintheta + 2rcostheta
Agora substituímos r^2 = x^2 + y^2, rsintheta = y e rcostheta = x, obtendo
x^2 + y^2 = 2y + 2x

Passo 3

Reorganizamos para completar quadrados:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1 + 1
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2
Isso mostra que a curva é um círculo de centro (1,1) e raio raiz2.

Resposta

A equação cartesiana é
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2,
ou seja, um círculo de centro (1,1) e raio raiz2.

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