Identify the curve by finding a Cartesian equation for the curve.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 3,sintheta
e pede que a gente ache sua equação cartesiana e identifique o tipo de curva. Para isso vamos usar as relações básicas
x = rcostheta, y = rsintheta, r^2 = x^2 + y^2

Passo 2

Multiplicando ambos os lados de r = 3sintheta por r, obtemos
r^2 = 3rsintheta
Como r^2 = x^2+y^2 e rsintheta = y, isso vira
x^2 + y^2 = 3y

Passo 3

Reorganizando para completar o quadrado em y, temos
x^2 + y^2 - 3y = 0Longrightarrow x^2 + l(y^2 - 3yr) = 0
Agora escrevemos
y^2 - 3y = l(y - tfrac32r)^2 - l(tfrac32r)^2,
então
x^2 + l(y - tfrac32r)^2 - l(tfrac32r)^2 = 0

Passo 4

Isolando o termo quadrado, chega-se a
x^2 + l(y - tfrac32r)^2 = l(tfrac32r)^2,
que é a equação de uma circunferência.

Resposta

x^2 + l(y - tfrac32r)^2 = (tfrac32)^2
É uma circunferência de centro (0,tfrac32) e raio tfrac32.

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