Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que vai de
até
.
Informações dadas: os extremos do segmento são e
; a função a integrar ao longo da curva é
multiplicada por
(diferencial de comprimento de arco). A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha sobre o segmento indicado?
Informações dadas: os extremos do segmento são
Passo 2
Parametrizo o segmento de reta por um parâmetro
que varia de
a
. Uma parametrização natural é tomar pontos que variam linearmente entre os extremos, ou seja
Verifique: em
temos
e em
temos
, então está correto. Ao longo da curva, a componente
vale
.
Passo 3
Agora calculo o diferencial de arco
. Primeiro derivo
em relação a
:
O comprimento do vetor derivada é
Para uma parametrização por
, tem-se
. Aqui
, que é constante porque a velocidade ao longo do segmento é constante.
Passo 4
Substituo a parametrização na integral original. Lembre que ao longo da curva
, e
. Portanto a integral de linha transforma-se em uma integral em
:
Passo 5
Agora preciso calcular a integral
. Vou usar integração por partes, que é uma técnica útil quando temos produto de funções. A fórmula de integração por partes é
onde escolhemos
e
. Aqui escolho
(pois sua derivada é simples) e
(pois sua primitiva é simples). Então:
-
. -
.
Aplicando a fórmula:
Agora avalio a primitiva entre
e
:
(Dica rápida: conferir os termos: em
a expressão dá
; em
dá
, então a diferença é
.)
Passo 6
Volto à integral completa:
Então o valor da integral de linha pedida é
. Força aí — acabou rápido porque a integral interna deu
, o que deixa a resposta bem simples.