Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} x e^{x} d s, \quad C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} x e^{x}\,ds,
onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) até (1,2,3).
Informações dadas: os extremos do segmento são (0,0,0) e (1,2,3); a função a integrar ao longo da curva é x e^{x} multiplicada por ds (diferencial de comprimento de arco). A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha sobre o segmento indicado?

Passo 2

Parametrizo o segmento de reta por um parâmetro t que varia de 0 a 1. Uma parametrização natural é tomar pontos que variam linearmente entre os extremos, ou seja
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,\,2t,\,3t),\qquad 0\le t\le 1.
Verifique: em t=0 temos \mathbf{r}(0)=(0,0,0) e em t=1 temos \mathbf{r}(1)=(1,2,3), então está correto. Ao longo da curva, a componente x vale x(t)=t.

Passo 3

Agora calculo o diferencial de arco ds. Primeiro derivo \mathbf{r} em relação a t:
\mathbf{r}'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t)) = (1,\,2,\,3).
O comprimento do vetor derivada é
\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}.
Para uma parametrização por t, tem-se ds = \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt. Aqui ds = \sqrt{14}\,dt, que é constante porque a velocidade ao longo do segmento é constante.

Passo 4

Substituo a parametrização na integral original. Lembre que ao longo da curva x = x(t)=t, e ds=\sqrt{14}\,dt. Portanto a integral de linha transforma-se em uma integral em t:
\int_{C} x e^{x}\,ds = \int_{0}^{1} \bigl(x(t)e^{x(t)}\bigr)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt = \int_{0}^{1} t e^{t}\cdot \sqrt{14}\,dt = \sqrt{14}\int_{0}^{1} t e^{t}\,dt.

Passo 5

Agora preciso calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} t e^{t}\,dt. Vou usar integração por partes, que é uma técnica útil quando temos produto de funções. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv. Aqui escolho u=t (pois sua derivada é simples) e dv=e^{t}\,dt (pois sua primitiva é simples). Então:
  • u=t \Rightarrow du = dt.
  • dv=e^{t}\,dt \Rightarrow v=e^{t}.
Aplicando a fórmula:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = (t-1)e^{t} + C.
Agora avalio a primitiva entre 0 e 1:
\int_{0}^{1} t e^{t}\,dt = \bigl[(t-1)e^{t}\bigr]_{0}^{1} = \bigl[(1-1)e^{1}\bigr] - \bigl[(0-1)e^{0}\bigr] = 0 - (-1) = 1.
(Dica rápida: conferir os termos: em t=1 a expressão dá 0; em t=0 -1, então a diferença é 1.)

Passo 6

Volto à integral completa:
\int_{C} x e^{x}\,ds = \sqrt{14}\int_{0}^{1} t e^{t}\,dt = \sqrt{14}\cdot 1 = \sqrt{14}.
Então o valor da integral de linha pedida é \sqrt{14}. Força aí — acabou rápido porque a integral interna deu 1, o que deixa a resposta bem simples.

Resposta

\sqrt{14}

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