Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{c} x y e^{\pi} d y, \quad C: x=t, \quad y=t^{2}, \quad z=t^{3}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y e^{\pi}\,dy
onde a curva C é dada pela parametrização
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=t^{3},\quad 0\le t\le 1.
Informações dadas:
  • A função que multiplica dy é x y e^{\pi}.
  • A variável de parametrização é t que varia de 0 a 1.
  • As componentes da curva são x(t)=t, y(t)=t^{2} e z(t)=t^{3}.
    Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha acima.

Passo 2

Fórmula e ideia: quando temos uma integral de linha na forma \displaystyle \int_{C} f(x,y,z)\,dy e a curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para a\le t\le b, substituímos as coordenadas pela parametrização e trocamos dy por y'(t)\,dt. Ou seja,
\int_{C} f(x,y,z)\,dy = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,y'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • f(x,y,z) é a função que aparece multiplicando dy.
  • x(t),y(t),z(t) são as coordenadas da curva em termos de t.
  • y'(t) é a derivada de y(t) em relação a t.
  • a e b são os limites de t (aqui 0 e 1).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: f(x,y,z)=x y e^{\pi}. Substituímos x e y pela parametrização:
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=x(t)\,y(t)\,e^{\pi}=t\cdot t^{2}\cdot e^{\pi}.
Agora precisamos de y'(t). Como y(t)=t^{2}, temos
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.

Passo 4

Montamos o integrando em termos de t:
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,y'(t)=\big(t\cdot t^{2}\cdot e^{\pi}\big)\cdot(2t).
Calculemos passo a passo os fatores em t: t\cdot t^{2}\cdot 2t = 2t^{4}. Assim o integrando fica
2\,e^{\pi}\,t^{4}.

Passo 5

Agora integramos em t de 0 a 1:
\int_{C} x y e^{\pi}\,dy = \int_{0}^{1} 2\,e^{\pi}\,t^{4}\,dt.
Fatoramos a constante 2e^{\pi} para fora da integral:
2e^{\pi}\int_{0}^{1} t^{4}\,dt.
Usamos a regra da potência para integrais: \displaystyle \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}. Aqui n=4, então
\int_{0}^{1} t^{4}\,dt = \left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Multiplicando pela constante:
2e^{\pi}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}e^{\pi}.

Passo 6

Interpretação final rápida: a integral de linha reduziu-se a uma integral em t simples, depois de substituir y e dy. Sempre que só aparece dy, basta fazer dy=y'(t)\,dt e substituir as demais coordenadas.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}e^{\pi}

Exercícios relacionados