Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações dadas:
- A função que multiplica
é . - A variável de parametrização é
que varia de a . - As componentes da curva são
, e .
Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha acima.
Passo 2
Fórmula e ideia: quando temos uma integral de linha na forma
e a curva
é parametrizada por
para
, substituímos as coordenadas pela parametrização e trocamos
por
. Ou seja,
Explicando cada símbolo:
-
é a função que aparece multiplicando . -
são as coordenadas da curva em termos de . -
é a derivada de em relação a . -
e são os limites de (aqui e ).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
. Substituímos
e
pela parametrização:
Agora precisamos de
. Como
, temos
Passo 4
Montamos o integrando em termos de
:
Calculemos passo a passo os fatores em
:
. Assim o integrando fica
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Usamos a regra da potência para integrais:
. Aqui
, então
Multiplicando pela constante:
Passo 6
Interpretação final rápida: a integral de linha reduziu-se a uma integral em
simples, depois de substituir
e
. Sempre que só aparece
, basta fazer
e substituir as demais coordenadas.