Resolva a equação diferencial
, usando a mudança de variáveis
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando a mudança de variáveis
. Vou interpretar
como
(isto é,
). Informações dadas e observações iniciais importantes:
- A equação envolve
. - A mudança proposta é
, portanto . Para usar essa mudança precisamos de . - Nosso objetivo: encontrar
em termos de (solução geral), indicando a constante de integração.
Passo 2
Computei a derivada de
em função de
. Como
, usamos a regra do produto:
Explico a regra do produto de forma simples: a derivada de
é
. Aqui
e
, então
e
, resultando em
.
Passo 3
Substituo
e
na equação original:
Agora simplifico: a expressão do lado esquerdo é
. Cancelamos
dos dois lados (isso é legítimo porque aparece nos dois lados), obtendo
Dividindo por
(lembrando
) vem
Aqui
.
Passo 4
Agora integramos em relação a
:
com
constante de integração. Esse integral não tem primitiva elementar em termos de funções elementares clássicas, então usamos a função especial chamada integral exponencial
. Vou mostrar a relação útil: a derivada de
em relação a
é
. Aplicando regra da cadeia para
,
Portanto
e assim a integral é
Logo podemos tomar
Passo 5
Voltamos à variável original
. Lembrando
, obtemos
Aqui
é a constante arbitrária de integração. Observações finais: a solução é válida para
; a função
está bem definida para argumentos positivos
(para
há singularidade), então usualmente descrevemos a solução em intervalos que não contêm
.