Resolva a equação diferencial x y^{\prime}=y+x e^{x x}, usando a mudança de variáveis v=y / x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x y' = y + x e^{x x}
usando a mudança de variáveis v = y/x. Vou interpretar e^{x x} como e^{x^2} (isto é, x x = x^2). Informações dadas e observações iniciais importantes:
  • A equação envolve y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A mudança proposta é v=\dfrac{y}{x}, portanto y=vx. Para usar essa mudança precisamos de x\neq 0.
  • Nosso objetivo: encontrar y(x) em termos de x (solução geral), indicando a constante de integração.

Passo 2

Computei a derivada de y em função de v. Como y=vx, usamos a regra do produto:
y' = \frac{d}{dx}(v x) = v + x\frac{dv}{dx}.
Explico a regra do produto de forma simples: a derivada de u(x)w(x) é u'(x)w(x)+u(x)w'(x). Aqui u=v(x) e w=x, então u'=v' e w'=1, resultando em v + x v'.

Passo 3

Substituo y=vx e y'=v + x v' na equação original:
x\big(v + x v'\big) = v x + x e^{x^2}.
Agora simplifico: a expressão do lado esquerdo é xv + x^2 v'. Cancelamos xv dos dois lados (isso é legítimo porque aparece nos dois lados), obtendo
x^2 v' = x e^{x^2}.
Dividindo por x^2 (lembrando x\neq 0) vem
v' = \frac{e^{x^2}}{x}.
Aqui v'=\dfrac{dv}{dx}.

Passo 4

Agora integramos em relação a x:
\frac{dv}{dx} = \frac{e^{x^2}}{x} \quad\Longrightarrow\quad v(x) = \int \frac{e^{x^2}}{x}\,dx + C,
com C constante de integração. Esse integral não tem primitiva elementar em termos de funções elementares clássicas, então usamos a função especial chamada integral exponencial \mathrm{Ei}. Vou mostrar a relação útil: a derivada de \mathrm{Ei}(u) em relação a u é \dfrac{d}{du}\mathrm{Ei}(u)=\dfrac{e^u}{u}. Aplicando regra da cadeia para u=x^2,
\frac{d}{dx}\mathrm{Ei}(x^2)=\mathrm{Ei}'(x^2)\cdot 2x = \frac{e^{x^2}}{x^2}\cdot 2x = \frac{2e^{x^2}}{x}.
Portanto
\frac{e^{x^2}}{x} = \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\mathrm{Ei}(x^2),
e assim a integral é
\int \frac{e^{x^2}}{x}\,dx = \frac{1}{2}\mathrm{Ei}(x^2) + \text{const.}
Logo podemos tomar
v(x) = \frac{1}{2}\mathrm{Ei}(x^2) + C.

Passo 5

Voltamos à variável original y. Lembrando y = v x, obtemos
y(x) = x\left(\frac{1}{2}\mathrm{Ei}(x^2) + C\right) = \frac{x}{2}\mathrm{Ei}(x^2) + Cx.
Aqui C é a constante arbitrária de integração. Observações finais: a solução é válida para x\neq 0; a função \mathrm{Ei} está bem definida para argumentos positivos x^2>0 (para x=0 há singularidade), então usualmente descrevemos a solução em intervalos que não contêm 0.

Resposta

y(x)=Cx+\frac{x}{2}\mathrm{Ei}\bigl(x^2\bigr),\qquad C\in\mathbb{R},\;x\neq 0.

Exercícios relacionados