Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+x^{4} y-x^{4} e^{\frac{4 x^{5}}{5}} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial. Escrevo-a de forma explícita na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + x^{4}y = x^{4}e^{\frac{4x^{5}}{5}}
com condição inicial
y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vou usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Lembrete rápido (didático): para uma equação da forma
y' + p(x)y = q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A ideia é multiplicar a equação por \mu(x) para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x), ou seja,
(\mu y)'=\mu y' + \mu' y = \mu\bigl(y' + \tfrac{\mu'}{\mu}y\bigr).
Escolhendo \mu com \mu'/\mu = p(x) garantimos que o lado esquerdo seja exatamente (\mu y)'.
Aqui temos p(x)=x^{4}. Calculo o fator integrante:
\int p(x)\,dx = \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5},
logo
\mu(x)=e^{\frac{x^{5}}{5}}.

Passo 3

Multiplico a equação original por \mu(x). A equação original é
y' + x^{4}y = x^{4}e^{\frac{4x^{5}}{5}}.
Multiplicando por \mu(x)=e^{\frac{x^{5}}{5}} resulta
e^{\frac{x^{5}}{5}}y' + x^{4}e^{\frac{x^{5}}{5}}y = x^{4}e^{\frac{x^{5}}{5}}e^{\frac{4x^{5}}{5}}.
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{\frac{x^{5}}{5}}y\bigr)' = x^{4}e^{\frac{5x^{5}}{5}} = x^{4}e^{x^{5}}.
Observe que usei e^{\frac{x^{5}}{5}}e^{\frac{4x^{5}}{5}}=e^{\frac{5x^{5}}{5}}=e^{x^{5}}.

Passo 4

Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{\frac{x^{5}}{5}}y\bigr)'\,dx = \int x^{4}e^{x^{5}}\,dx.
O lado esquerdo vira simplesmente e^{\frac{x^{5}}{5}}y mais constante. Para o lado direito faço a substituição conveniente:
Defina u=x^{5}. Então du=5x^{4}\,dx, portanto x^{4}\,dx=\tfrac{1}{5}\,du.
Assim
\int x^{4}e^{x^{5}}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{1}{5}\,du = \frac{1}{5}e^{u} + C = \frac{1}{5}e^{x^{5}} + C.
Portanto obtemos
e^{\frac{x^{5}}{5}}y = \frac{1}{5}e^{x^{5}} + C.

Passo 5

Isolo y dividindo por e^{\frac{x^{5}}{5}}:
y = \frac{\frac{1}{5}e^{x^{5}} + C}{e^{\frac{x^{5}}{5}}} = \frac{1}{5}e^{x^{5}-\frac{x^{5}}{5}} + C e^{-\frac{x^{5}}{5}}.
Simplifico a potência x^{5}-\frac{x^{5}}{5}=\frac{4x^{5}}{5}, ficando
y(x)=\frac{1}{5}e^{\frac{4x^{5}}{5}} + C e^{-\frac{x^{5}}{5}}.

Passo 6

Aplico a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=\frac{1}{5}e^{0} + C e^{0} = \frac{1}{5} + C = 1.
Logo
C = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.

Passo 7

Substituo C=\tfrac{4}{5} na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{1}{5}e^{\frac{4x^{5}}{5}} + \frac{4}{5}e^{-\frac{x^{5}}{5}}.
Se quiser, pode fatorar \tfrac{1}{5}:
y(x)=\frac{1}{5}\Bigl(e^{\frac{4x^{5}}{5}} + 4e^{-\frac{x^{5}}{5}}\Bigr).

Resposta

y(x)=\frac{1}{5}e^{\frac{4x^{5}}{5}}+\frac{4}{5}e^{-\frac{x^{5}}{5}}

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