Resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial. Escrevo-a de forma explícita na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
com condição inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vou usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Lembrete rápido (didático): para uma equação da forma
o fator integrante
é definido por
A ideia é multiplicar a equação por
para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
, ou seja,
Escolhendo
com
garantimos que o lado esquerdo seja exatamente
.
Aqui temos
. Calculo o fator integrante:
logo
Passo 3
Multiplico a equação original por
. A equação original é
Multiplicando por
resulta
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Observe que usei
.
Passo 4
Agora integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo vira simplesmente
mais constante. Para o lado direito faço a substituição conveniente:
Defina . Então
, portanto
.
Assim
Defina
Assim
Portanto obtemos
Passo 5
Isolo
dividindo por
:
Simplifico a potência
, ficando
Passo 6
Aplico a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Logo
Passo 7
Substituo
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Se quiser, pode fatorar
: