Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. \int_{c} x y e^{2 x} d y, \quad C: x=t, \quad y=t^{2}, \quad z=t^{3}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
Ou seja, temos a parametrização do caminho C em função de t e o integrando é a expressão x y e^{2x} multiplicando o diferencial dy. A integral é a integral ao longo da curva do termo associado a dy.
Passo 2
Regra para transformar a integral de linha em integral em t: se x=x(t),y=y(t),z=z(t) e o integrando é uma função multiplicando dy, então usamos
dy = \frac{dy}{dt}\,dt,
portanto
\int_{C} x y e^{2x}\,dy = \int_{t=a}^{t=b} \bigl(x(t)\,y(t)\,e^{2x(t)}\bigr)\,y'(t)\,dt.
Explicação curta: dy é a variação de y quando percorremos a curva; com a parametrização, essa variação é y'(t)\,dt. Então substituímos x,y pelas suas expressões em t e multiplicamos por y'(t).
Passo 3
Substituições específicas da parametrização: x(t)=t, y(t)=t^{2}. Calculamos a derivada
Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} u^{4}e^{u}\,du por partes repetidas. Lembrete da fórmula de integração por partes: \displaystyle \int U\,dV = UV - \int V\,dU. Para potências vezes exponencial existe uma redução: definindo