Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{c} x y e^{2 x} d y, \quad C: x=t, \quad y=t^{2}, \quad z=t^{3}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
\int_{C} x y e^{2x}\,dy.
Informações dadas:
C:\\ x=t,\quad y=t^{2},\quad z=t^{3},\quad 0\le t\le 1.
Ou seja, temos a parametrização do caminho C em função de t e o integrando é a expressão x y e^{2x} multiplicando o diferencial dy. A integral é a integral ao longo da curva do termo associado a dy.

Passo 2

Regra para transformar a integral de linha em integral em t: se x=x(t),y=y(t),z=z(t) e o integrando é uma função multiplicando dy, então usamos
dy = \frac{dy}{dt}\,dt,
portanto
\int_{C} x y e^{2x}\,dy = \int_{t=a}^{t=b} \bigl(x(t)\,y(t)\,e^{2x(t)}\bigr)\,y'(t)\,dt.
Explicação curta: dy é a variação de y quando percorremos a curva; com a parametrização, essa variação é y'(t)\,dt. Então substituímos x,y pelas suas expressões em t e multiplicamos por y'(t).

Passo 3

Substituições específicas da parametrização: x(t)=t, y(t)=t^{2}. Calculamos a derivada
y'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Substituindo no integrando:
x(t)\,y(t)\,e^{2x(t)} = t\cdot t^{2}\cdot e^{2t} = t^{3}e^{2t}.
Multiplicando por y'(t)\,dt obtemos o integrando em t:
t^{3}e^{2t}\cdot 2t\,dt = 2t^{4}e^{2t}\,dt.
Logo a integral torna-se
\int_{C} x y e^{2x}\,dy = \int_{0}^{1} 2t^{4}e^{2t}\,dt.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} 2t^{4}e^{2t}\,dt é conveniente fazer a substituição linear u=2t para simplificar a exponencial. Fazendo
u=2t\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{2},
os limites t=0\to u=0 e t=1\to u=2. Substituindo:
2t^{4}e^{2t}\,dt = 2\left(\frac{u}{2}\right)^{4} e^{u}\cdot\frac{du}{2}.
Calculando os fatores:
2\left(\frac{u^{4}}{16}\right)\frac{1}{2}e^{u}\,du = \frac{1}{16}u^{4}e^{u}\,du.
Portanto
\int_{0}^{1} 2t^{4}e^{2t}\,dt = \frac{1}{16}\int_{0}^{2} u^{4}e^{u}\,du.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} u^{4}e^{u}\,du por partes repetidas. Lembrete da fórmula de integração por partes: \displaystyle \int U\,dV = UV - \int V\,dU. Para potências vezes exponencial existe uma redução: definindo
I_{n}(u)=\int u^{n}e^{u}\,du,
obtém-se pela parts que
I_{n}(u)=u^{n}e^{u}-nI_{n-1}(u).
Aplicando essa redução sucessivamente para n=4:
\begin{aligned} I_{4}(u)&=u^{4}e^{u}-4I_{3}(u),\\\ I_{3}(u)&=u^{3}e^{u}-3I_{2}(u),\\\ I_{2}(u)&=u^{2}e^{u}-2I_{1}(u),\\\ I_{1}(u)&=u e^{u}-I_{0}(u),\\\ I_{0}(u)&=\int e^{u}\,du=e^{u}. \end{aligned}
Substituindo para eliminar I_{3},I_{2},I_{1},I_{0} e escrever uma primitiva explícita, obtemos a primitiva
\int u^{4}e^{u}\,du = e^{u}\bigl(u^{4}-4u^{3}+12u^{2}-24u+24\bigr)+C.
(Esse polinômio surge das aplicações repetidas da redução; os coeficientes vêm dos fatoriais e combinações que aparecem em cada passo.)

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva nos limites 0 e 2:
\int_{0}^{2} u^{4}e^{u}\,du = \Bigl[e^{u}\bigl(u^{4}-4u^{3}+12u^{2}-24u+24\bigr)\Bigr]_{0}^{2}.
Calculemos o valor em u=2:
u^{4}-4u^{3}+12u^{2}-24u+24\Big|_{u=2} = 16-32+48-48+24 = 8.
Em u=0:
u^{4}-4u^{3}+12u^{2}-24u+24\Big|_{u=0} = 24.
Portanto
\int_{0}^{2} u^{4}e^{u}\,du = e^{2}\cdot 8 - e^{0}\cdot 24 = 8e^{2}-24.

Passo 7

Lembrando do fator \tfrac{1}{16} que apareceu na substituição, voltamos à nossa integral original:
\int_{0}^{1} 2t^{4}e^{2t}\,dt = \frac{1}{16}\bigl(8e^{2}-24\bigr).
Simplificando os coeficientes:
\frac{1}{16}(8e^{2}-24) = \frac{8}{16}e^{2} - \frac{24}{16} = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{3}{2} = \frac{e^{2}-3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{2}-3}{2}

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