Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes: a integral é de uma 1-forma
com
,
,
; foi dada a parametrização completa de
e o intervalo do parâmetro
.
Passo 2
Estratégia (fórmula que usaremos). Quando uma curva
é parametrizada por
,
, a integral de linha de uma 1-forma
é calculada por substituição das variáveis:
Explicando:
,
,
. Então a integral sobre a curva vira uma integral de uma função de
no intervalo
. Aqui
,
,
.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes da parametrização. Das expressões dadas:
Tô sendo detalhista: derive
usando a regra básica da potência,
.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da integral. Cada termo da integranda vira:
Somando os três termos obtemos a função integranda em
:
Passo 5
Agora integramos no intervalo
:
Usamos a regra de potência para integrais:
. Portanto
Passo 6
Avaliar a primitiva entre os limites:
Comentário rápido de amigo: deu uma conta limpinha porque
são todas iguais e a derivada simples facilitou — ótimo para prova!