Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{c} z d x+x d y+y d z,
C: x=t^{2}, \quad y=t^{2}, \quad z=t^{2}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} z\,dx + x\,dy + y\,dz,
onde a curva C é dada pela parametrização
x=t^{2},\qquad y=t^{2},\qquad z=t^{2},\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes: a integral é de uma 1-forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz com P=z, Q=x, R=y; foi dada a parametrização completa de C e o intervalo do parâmetro t.

Passo 2

Estratégia (fórmula que usaremos). Quando uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), a\le t\le b, a integral de linha de uma 1-forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz é calculada por substituição das variáveis:
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \int_{a}^{b} \bigl(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) + R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
Explicando: dx = x'(t)\,dt, dy = y'(t)\,dt, dz = z'(t)\,dt. Então a integral sobre a curva vira uma integral de uma função de t no intervalo [a,b]. Aqui P=z, Q=x, R=y.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes da parametrização. Das expressões dadas:
x(t)=t^{2}\Rightarrow x'(t)=2t,
y(t)=t^{2}\Rightarrow y'(t)=2t,
z(t)=t^{2}\Rightarrow z'(t)=2t.
Tô sendo detalhista: derive t^{2} usando a regra básica da potência, \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.

Passo 4

Substituir x(t),y(t),z(t) e x',y',z' na fórmula da integral. Cada termo da integranda vira:
z\,dx = z(t)\,x'(t)\,dt = t^{2}\cdot (2t)\,dt = 2t^{3}\,dt,
x\,dy = x(t)\,y'(t)\,dt = t^{2}\cdot (2t)\,dt = 2t^{3}\,dt,
y\,dz = y(t)\,z'(t)\,dt = t^{2}\cdot (2t)\,dt = 2t^{3}\,dt.
Somando os três termos obtemos a função integranda em t:
z\,dx + x\,dy + y\,dz = (2t^{3}+2t^{3}+2t^{3})\,dt = 6t^{3}\,dt.

Passo 5

Agora integramos no intervalo 0\le t\le 1:
\int_{C} z\,dx+x\,dy+y\,dz = \int_{0}^{1} 6t^{3}\,dt.
Usamos a regra de potência para integrais: \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}. Portanto
\int_{0}^{1} 6t^{3}\,dt = 6\int_{0}^{1} t^{3}\,dt = 6\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1}.

Passo 6

Avaliar a primitiva entre os limites:
6\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 6\cdot\frac{1^{4}-0^{4}}{4} = \frac{6}{4}\cdot 1 = \frac{3}{2}.
Comentário rápido de amigo: deu uma conta limpinha porque x,y,z são todas iguais e a derivada simples facilitou — ótimo para prova!

Resposta

\tfrac{3}{2}

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