Explique como obter, a partir do gráfico de y=f(x), os gráficos a seguir:
y=2 f(x)

Passo 1

O enunciado pede que, a partir do gráfico de y=f(x), eu explique como obter o gráfico de y=2f(x). Informação dada: temos o gráfico de y=f(x) (todos os pontos (x,f(x)) conhecidos graficamente). Não foram dadas outras restrições nem valores numéricos; a tarefa é descrever a transformação gráfica.

Passo 2

Intuição e definição da transformação. Se eu definir g(x)=2f(x), então a relação entre os pontos dos gráficos é direta: cada ponto (x,f(x)) do gráfico de f é levado para o ponto
(x,2f(x))
do gráfico de g. Em palavras simples: multiplica-se a ordenada (o valor de y) por 2, mantendo a mesma abscissa x.

Passo 3

Interpretação geométrica (o que isso significa no papel). Multiplicar as ordenadas por 2 é um esticamento vertical em relação ao eixo x. Ou seja:
  • Se f(x)>0 em algum x, o ponto sobe (fica duas vezes mais alto).
  • Se f(x)<0, o ponto desce (fica duas vezes mais negativo).
  • O eixo x (linha y=0) é a reta de referência: pontos sobre ele permanecem fixos.

Passo 4

Efeitos em pontos e características importantes (como usar isso na prova):
  • Zeros: se f(x_0)=0 então 2f(x_0)=0. Logo, as raízes/zeros do gráfico ficam nas mesmas abscissas.
  • Intercepto em y: o novo intercepto será 2f(0).
  • Extremos relativos: um máximo ou mínimo em x=a continua em x=a, mas o valor y é multiplicado por 2.
  • Assíntotas horizontais: se f(x)\to L quando x\to\infty, então 2f(x)\to 2L.
  • Assíntotas verticais: não mudam de posição (ocorrem nas mesmas abscissas).
  • Monotonicidade e concavidade: multiplicar por 2 preserva sinais de f'(x) e f''(x) (se existirem), então intervalos de subida/descida e concavidade não mudam de lugar — apenas os valores das derivadas também dobram ( g'(x)=2f'(x), g''(x)=2f''(x)).

Passo 5

Procedimento prático passo a passo para desenhar (o que fazer na folha/exame):
  1. Escolher alguns pontos “-chave” do gráfico de f: intercepto x-quando conhecido, intercepto em y, vértices, pontos onde a curva cruza x, e mais alguns pontos de referência (x_i,f(x_i)).
  2. Para cada ponto escolhido, calcular a nova ordenada 2f(x_i) e marcar o ponto \bigl(x_i,2f(x_i)\bigr).
  3. Traçar uma curva que passe por esses pontos novaões, preservando a forma do gráfico original (mesma “curvatura”, mesmos máximos/minimos em abscissas idênticas).
  4. Conferir: os zeros devem ficar exatamente nas mesmas abscissas; se houver assíntota horizontal y=L ela deve mover-se para y=2L.
  5. Ajustar escala vertical se necessário no papel: lembre-se que tudo ficará mais “esticado” verticalmente (pule linhas da grade se usar papel quadriculado).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (faça o mesmo na folha): suponha que, no gráfico de f, existam pontos (-2,1), (-1,0), (0,2), (1,-1). Para g(x)=2f(x) obtenho:
(-2,2),\quad (-1,0),\quad (0,4),\quad (1,-2).
Marca esses pontos e ligue-os mantendo a forma; compare com o gráfico original para ver o esticamento vertical.

Passo 7

Dicas finais e atalho para prova: não tente redesenhar tudo ponto a ponto se o tempo é curto. Escolha 3–5 pontos bem espaçados (incluindo um zero e o intercepto em y), transforme as ordenadas por 2 e esboce a curva. Lembre-se: esticar verticalmente por fator 2 significa multiplicar todas as ordenadas por 2 enquanto as abscissas permanecem iguais. Confie no fato de que a forma (picos, vales, monotonia) fica na mesma posição em x.

Resposta

O gráfico de y=2f(x) é obtido esticando verticalmente o gráfico de y=f(x) por um fator 2 em relação ao eixo x: cada ponto (x,f(x)) vai para (x,2f(x)).

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