Explique como obter, a partir do gráfico de
, os gráficos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que, a partir do gráfico de
, eu explique como obter o gráfico de
. Informação dada: temos o gráfico de
(todos os pontos
conhecidos graficamente). Não foram dadas outras restrições nem valores numéricos; a tarefa é descrever a transformação gráfica.
Passo 2
Intuição e definição da transformação. Se eu definir
, então a relação entre os pontos dos gráficos é direta: cada ponto
do gráfico de
é levado para o ponto
do gráfico de
. Em palavras simples: multiplica-se a ordenada (o valor de
) por
, mantendo a mesma abscissa
.
Passo 3
Interpretação geométrica (o que isso significa no papel). Multiplicar as ordenadas por
é um esticamento vertical em relação ao eixo
. Ou seja:
- Se
em algum , o ponto sobe (fica duas vezes mais alto). - Se
, o ponto desce (fica duas vezes mais negativo). - O eixo
(linha ) é a reta de referência: pontos sobre ele permanecem fixos.
Passo 4
Efeitos em pontos e características importantes (como usar isso na prova):
- Zeros: se
então . Logo, as raízes/zeros do gráfico ficam nas mesmas abscissas. - Intercepto em
: o novo intercepto será . - Extremos relativos: um máximo ou mínimo em
continua em , mas o valor é multiplicado por . - Assíntotas horizontais: se
quando , então . - Assíntotas verticais: não mudam de posição (ocorrem nas mesmas abscissas).
- Monotonicidade e concavidade: multiplicar por
preserva sinais de e (se existirem), então intervalos de subida/descida e concavidade não mudam de lugar — apenas os valores das derivadas também dobram ( , ).
Passo 5
Procedimento prático passo a passo para desenhar (o que fazer na folha/exame):
- Escolher alguns pontos “-chave” do gráfico de
: intercepto -quando conhecido, intercepto em , vértices, pontos onde a curva cruza , e mais alguns pontos de referência . - Para cada ponto escolhido, calcular a nova ordenada
e marcar o ponto . - Traçar uma curva que passe por esses pontos novaões, preservando a forma do gráfico original (mesma “curvatura”, mesmos máximos/minimos em abscissas idênticas).
- Conferir: os zeros devem ficar exatamente nas mesmas abscissas; se houver assíntota horizontal
ela deve mover-se para . - Ajustar escala vertical se necessário no papel: lembre-se que tudo ficará mais “esticado” verticalmente (pule linhas da grade se usar papel quadriculado).
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (faça o mesmo na folha): suponha que, no gráfico de
, existam pontos
,
,
,
. Para
obtenho:
Marca esses pontos e ligue-os mantendo a forma; compare com o gráfico original para ver o esticamento vertical.
Passo 7
Dicas finais e atalho para prova: não tente redesenhar tudo ponto a ponto se o tempo é curto. Escolha 3–5 pontos bem espaçados (incluindo um zero e o intercepto em
), transforme as ordenadas por
e esboce a curva. Lembre-se: esticar verticalmente por fator
significa multiplicar todas as ordenadas por
enquanto as abscissas permanecem iguais. Confie no fato de que a forma (picos, vales, monotonia) fica na mesma posição em
.
Resposta
O gráfico de
é obtido esticando verticalmente o gráfico de
por um fator
em relação ao eixo
: cada ponto
vai para
.