e pede para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações dadas:
A função está dada por partes: para todos os pontos exceto a origem vem a expressão \overline{x^{2}+y^{2}}; na origem o valor é 0.
O enunciado usa a barra superior (conjugado complexo) sobre x^{2}+y^{2}.
O que é pedido:
Encontrar explicitamente as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) em todos os pontos (incluindo a origem).]
Passo 2
Interpretação importante e simplificação inicial (coisa prática para a prova).
Se x\) e \(y\) são números reais (como usual quando escrevemos \((x,y)\) em R^2), então \(x^{2}+y^{2}\) é um número real. O conjugado complexo de um número real é o próprio número. Logo, nessa interpretação natural:
\[\overline{x^{2}+y^{2}} = x^{2}+y^{2}\quad\text{para todos }(x,y)\in\mathbb{R}^2.
Portanto, salvo mudança de significado do enunciado, a função é simplesmente
Vou seguir essa interpretação (se o objetivo fosse tratar x\] e \(y como números complexos isso seria outra história, mas o enunciado usa par de coordenadas, então é razoável assumir reais).]
Passo 3
Definição de derivada parcial e estratégia.
Lembrando a definição de derivada parcial em x no ponto (a,b):
Observação útil: mesmo que exista algum h\neq0 tal que (x+h,y)=(0,0) (isso só pode ocorrer se y=0 e h=-x), isso corresponde a um único valor de h. Um valor isolado de h não altera o limite quando h\to0. Assim o cálculo acima é válido para qualquer ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 5
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} no ponto (0,0).
Em todos os pontos (x,y) a derivada parcial em x é 2x.
Em todos os pontos (x,y) a derivada parcial em y é 2y.
A razão pela qual a definição por partes (valor especial na origem) não muda as derivadas nos outros pontos é que mudar o valor de uma função em um ponto isolado não altera as diferenças quocientes em limite (o limite é determinado por pontos arbitrariamente próximos, não por o que ocorre em um único ponto).