Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\overline{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\begin{cases} \overline{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[4pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações dadas:
  • A função está dada por partes: para todos os pontos exceto a origem vem a expressão \overline{x^{2}+y^{2}}; na origem o valor é 0.
  • O enunciado usa a barra superior (conjugado complexo) sobre x^{2}+y^{2}.
O que é pedido:
  • Encontrar explicitamente as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) em todos os pontos (incluindo a origem).]

Passo 2

Interpretação importante e simplificação inicial (coisa prática para a prova).
Se x\) e \(y\) são números reais (como usual quando escrevemos \((x,y)\) em R^2), então \(x^{2}+y^{2}\) é um número real. O conjugado complexo de um número real é o próprio número. Logo, nessa interpretação natural: \[\overline{x^{2}+y^{2}} = x^{2}+y^{2}\quad\text{para todos }(x,y)\in\mathbb{R}^2.
Portanto, salvo mudança de significado do enunciado, a função é simplesmente
f(x,y)=\begin{cases} x^{2}+y^{2}, & (x,y)\neq(0,0),\\[4pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Vou seguir essa interpretação (se o objetivo fosse tratar x\] e \(y como números complexos isso seria outra história, mas o enunciado usa par de coordenadas, então é razoável assumir reais).]

Passo 3

Definição de derivada parcial e estratégia.
Lembrando a definição de derivada parcial em x no ponto (a,b):
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},
quando esse limite existe. O mesmo vale trocando x por y:
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.
Estratégia prática:
  • Calcular a derivada parcial em um ponto genérico (x,y)\neq(0,0) usando a expressão f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Tratar o caso especial (0,0) usando a definição limite diretamente (porque ali a fórmula tinha valor diferente definido à parte).
  • Explicar por que a possível diferença de valor em um ponto isolado (a origem) não estraga os limites em outros pontos.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} para (x,y)\neq(0,0).
Usando que para (x,y)\neq(0,0) vale f(x,y)=x^{2}+y^{2}, temos, pela definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Substituindo a expressão polinomial:
f(x+h,y)-f(x,y)=(x+h)^{2}+y^{2}-(x^{2}+y^{2})=2xh+h^{2}.
Dividindo por h (para h\neq0):
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=2x+h.
Fazendo h\to0 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Observação útil: mesmo que exista algum h\neq0 tal que (x+h,y)=(0,0) (isso só pode ocorrer se y=0 e h=-x), isso corresponde a um único valor de h. Um valor isolado de h não altera o limite quando h\to0. Assim o cálculo acima é válido para qualquer ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} no ponto (0,0).
Usamos a definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Aqui f(h,0)=\overline{h^{2}+0}=h^{2} (pois h é real), e f(0,0)=0. Logo
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h^{2}}{h}=h.
Fazendo h\to0 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}h=0.
Portanto o resultado no ponto originário coincide com a fórmula 2x avaliada em x=0: dá 0.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0) e em (0,0).
O cálculo para a derivada parcial em y é análogo ao caso x. Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+(y+h)^{2}-(x^{2}+y^{2})}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2yh+h^{2}}{h}=\lim_{h\to0}(2y+h)=2y.
No ponto (0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^{2}}{h}= \lim_{h\to0}h=0,
que de novo coincide com 2y em y=0.

Passo 7

Resumo e observações finais (para a prova).
  • Em todos os pontos (x,y) a derivada parcial em x é 2x.
  • Em todos os pontos (x,y) a derivada parcial em y é 2y.
  • A razão pela qual a definição por partes (valor especial na origem) não muda as derivadas nos outros pontos é que mudar o valor de uma função em um ponto isolado não altera as diferenças quocientes em limite (o limite é determinado por pontos arbitrariamente próximos, não por o que ocorre em um único ponto).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y

Exercícios relacionados