Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada por
Informações fornecidas:
- A parametrização da curva é
e para variando em . - A função a integrar ao longo da curva é
.
Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Se uma curva
é parametrizada por , , então a integral de linha de uma função escalar ao longo de é
- Aqui
representa um elemento de comprimento de arco; a expressão dá a velocidade escalar da parametrização e garante que integramos ao longo do comprimento real da curva. - Cada símbolo:
-
: coordenadas da curva em função do parâmetro . -
: derivadas das coordenadas em relação a . -
: extremos do parâmetro (aqui e ). -
: a função avaliada na curva.
-
Passo 3
Aplicando a fórmula à nossa parametrização.
- A parametrização é
, com . - Calculamos as derivadas:
- Portanto a raiz é
Logo
.
Passo 4
Substituímos
e
na integral.
- Como
e , temos . - E
. Assim a integral se reduz a
Passo 5
Calcular a integral de uma variável (passo a passo).
- Sabemos que uma primitiva de
é , porque ao derivar obtém-se . - Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
- Resultado final da integral:
.
Resposta
4