Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{c} y^{3} d s,
C: x=i, y=t, 0 \leqslant t \leqslant 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y^{3}\,ds,
onde a curva C é dada por
x=i,\qquad y=t,\qquad 0\le t\le 2.
Informações fornecidas:
  • A parametrização da curva é x(t)=i e y(t)=t para t variando em [0,2].
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=y^{3}.
    Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha \int_{C} y^{3}\,ds.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, então a integral de linha de uma função escalar f(x,y) ao longo de C é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^{2}}\,dt.
  • Aqui ds representa um elemento de comprimento de arco; a expressão \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} dá a velocidade escalar da parametrização e garante que integramos ao longo do comprimento real da curva.
  • Cada símbolo:
    • x(t),y(t): coordenadas da curva em função do parâmetro t.
    • \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}: derivadas das coordenadas em relação a t.
    • a,b: extremos do parâmetro t (aqui 0 e 2).
    • f(x(t),y(t)): a função avaliada na curva.

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa parametrização.
  • A parametrização é \big(x(t),y(t)\big)=(\,i,\,t\,), com t\in[0,2].
  • Calculamos as derivadas: \frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(i)=0,\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(t)=1.
  • Portanto a raiz é \sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^{2}}=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1.
Logo ds = 1\cdot dt = dt.

Passo 4

Substituímos f\big(x(t),y(t)\big) e ds na integral.
  • Como f(x,y)=y^{3} e y(t)=t, temos f\big(x(t),y(t)\big)=t^{3}.
  • E ds=dt. Assim a integral se reduz a \int_{C} y^{3}\,ds = \int_{0}^{2} t^{3}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral de uma variável (passo a passo).
  • Sabemos que uma primitiva de t^{3} é \dfrac{t^{4}}{4}, porque ao derivar \dfrac{t^{4}}{4} obtém-se t^{3}.
  • Aplicando o teorema fundamental do cálculo: \int_{0}^{2} t^{3}\,dt = \left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{16}{4}-0=4.
  • Resultado final da integral: 4.

Resposta

4

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