Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. \int_{C} x e^{3 z} d s, C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x e^{3 z}\, d s,
onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (1,2,3).
Informações dadas:
A função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x e^{3z}.
A curva C é o segmento de reta entre os pontos (0,0,0) e (1,2,3).
A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral de linha.
Passo 2
Conceito importante (o que estamos calculando): a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) em relação ao comprimento de arco d s ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\, d s = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\, dt.
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) e \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2} é a velocidade (magnitude) da parametrização; e d s=\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert dt. Vou usar essa fórmula aplicando uma parametrização conveniente do segmento.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta do ponto inicial (0,0,0) ao ponto final (1,2,3). Uma parametrização linear é
\mathbf{r}(t) = (t,\,2t,\,3t),\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: em t=0 obtemos (0,0,0) e em t=1 obtemos (1,2,3). Nesta parametrização as coordenadas são x(t)=t, y(t)=2t, z(t)=3t.
Calcular os termos: \dfrac{e^{9}}{9}-\dfrac{e^{9}}{81} = e^{9}\!\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{81}\right)=e^{9}\dfrac{8}{81}. Somando o +\dfrac{1}{81} do segundo colchete: