Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} x e^{3 z} d s, C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x e^{3 z}\, d s,
onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (1,2,3).
Informações dadas:
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x e^{3z}.
  • A curva C é o segmento de reta entre os pontos (0,0,0) e (1,2,3).
    A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral de linha.

Passo 2

Conceito importante (o que estamos calculando): a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) em relação ao comprimento de arco d s ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\, d s = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\, dt.
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) e \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2} é a velocidade (magnitude) da parametrização; e d s=\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert dt. Vou usar essa fórmula aplicando uma parametrização conveniente do segmento.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta do ponto inicial (0,0,0) ao ponto final (1,2,3). Uma parametrização linear é
\mathbf{r}(t) = (t,\,2t,\,3t),\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: em t=0 obtemos (0,0,0) e em t=1 obtemos (1,2,3). Nesta parametrização as coordenadas são x(t)=t, y(t)=2t, z(t)=3t.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma:
\mathbf{r}'(t)=(1,2,3),\qquad \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.
Avaliar a função sobre a parametrização:
f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = x(t)\,e^{3z(t)} = t\,e^{3\cdot(3t)} = t\,e^{9t}.
Substituindo na fórmula da integral de linha:
\int_{C} x e^{3 z}\, d s = \int_{0}^{1} \bigl(t\,e^{9t}\bigr)\,\sqrt{14}\, dt = \sqrt{14}\int_{0}^{1} t\,e^{9t}\, dt.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} t\,e^{9t}\, dt por partes. Escolhemos
u=t,\qquad dv=e^{9t}dt.
Então
du=dt,\qquad v=\frac{e^{9t}}{9}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int t\,e^{9t}\,dt = t\cdot\frac{e^{9t}}{9} - \int \frac{e^{9t}}{9}\,dt = \frac{t e^{9t}}{9} - \frac{1}{9}\cdot\frac{e^{9t}}{9} = \frac{t e^{9t}}{9} - \frac{e^{9t}}{81} + C.
Agora avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} t\,e^{9t}\, dt = \left[\frac{t e^{9t}}{9} - \frac{e^{9t}}{81}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1\cdot e^{9}}{9} - \frac{e^{9}}{81}\right) - \left(0 - \frac{1}{81}\right).
Calcular os termos: \dfrac{e^{9}}{9}-\dfrac{e^{9}}{81} = e^{9}\!\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{81}\right)=e^{9}\dfrac{8}{81}. Somando o +\dfrac{1}{81} do segundo colchete:
\int_{0}^{1} t\,e^{9t}\, dt = \frac{8e^{9}}{81} + \frac{1}{81} = \frac{8e^{9}+1}{81}.
Multiplicando por \sqrt{14} (lembrando do fator fora da integral) obtemos o valor final:
\int_{C} x e^{3 z}\, d s = \sqrt{14}\cdot\frac{8e^{9}+1}{81}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{81}\bigl(8e^{9}+1\bigr)

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