Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x e^x t d s, Cé o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar sobre o comprimento de arco, ou seja
integralC x,e^x t,ds,
onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (1,2,3). O conteúdo aqui é parametrizar a curva, usar ds=| r'(u)|,du e substituir na integral.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(u)=(x(u),y(u),t(u))=(u,,2u,,3u), 0<= u<=1
Então
r'(u)=(1,2,3),
logo o elemento de comprimento de arco é
ds=| r'(u)|,du =raiz1^2+2^2+3^2,du =raiz14,du

Passo 3

Na parametrização, x=u e t=3u, então o integrando fica
x,e^x t = u,e^ucdot(3u) = u,e^3u^2
Substituindo tudo na integral, obtemos
integralC x,e^x t,ds =integral0^1 l(u,e^3u^2r),l(raiz14,dur) =raiz14integral0^1u,e^3u^2,du

Passo 4

Para calcular
integral0^1u,e^3u^2,du
fazemos a substituição w=3u^2, daí dw=6u,du ou u,du=tfrac16dw. Quando u=0 temos w=0 e quando u=1 temos w=3. Assim,
integral0^1u,e^3u^2,du =integralw=0^3e^w,dw6 =16l[e^wr]0^3 =16l(e^3-1r)

Passo 5

Voltando à integral original, multiplicamos pelo fator raiz14:
integralC x,e^x t,ds =raiz14,16l(e^3-1r) =raiz146l(e^3-1r)

Resposta

raiz146l(e^3-1r)

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