Verifique se as seguintes sequências são limitadas e monónotas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an=3+5n^2n+n^2
é limitada e se é monótona.
Conteúdo envolvido: limites de sequência para testar limites superior e inferior, e estudo do sinal de an+1-an para monotonicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o limite quando ntoinfty para ver um candidato a limite superior. Dividindo numerador e denominador por n^2,
an =5+tfrac3n^21+tfrac1n ;xrightarrow[ntoinfty]; 5+01+0=5
Logo, supan<=5.
Para o limite inferior, calculamos alguns termos iniciais:
a1=3+51+1=82=4, a2=3+202+4=236approx3,833, a3=3+453+9=4812=4
Observamos que o menor valor aparece em n=2, ou seja,
infan=236,
e para todo n temos
236<= an<5
Portanto, a sequência é limitada.

Passo 3

Agora, estudamos a diferença
an+1-an =5(n+1)^2+3(n+1)(n+2) -5n^2+3n(n+1)
Colocando no mesmo denominador positivo e fazendo as contas, chega-se a
an+1-an =5n^2-n-6n(n+1)(n+2)
O sinal dessa diferença vem do numerador
5n^2-n-6=0 ;Longrightarrow; n=1pm1110=-1,;1,2
Como n é inteiro e positivo, para n=1 temos 5cdot1-1-6=-2<0, e para n>=2 obtemos 5n^2-n-6>0. Assim:
  • De n=1 para n=2, a sequência decresce.
  • A partir de n=2, an+1>an, ou seja, fica estritamente crescente.
Conclusão sobre monotonicidade: não é monótona em todo N, pois decresce de n=1 para n=2, mas é crescente para n>=2.

Resposta

A sequência an=3+5n^2n+n^2 é limitada, com
236<= an<5,
e não é monótona em todo N (decresce de n=1 para n=2 e, depois, cresce para n>=2).

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