Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralc x y d s,
C: x=r^2, y=2 t, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,y,ds
ao longo da curva C dada por
x = t^2, y = 2t, 0 <= t <= 1
O que precisamos é: (1) escrever x(t), y(t); (2) obter ds = lVert r'(t)rVert dt; (3) montar a integral em t e (4) calcular.

Passo 2

Definimos a parametrização
r(t) = l(x(t),y(t)r) = l(t^2,,2tr)
Então
r'(t) = l(2t,,2r),
e
llVert r'(t)rrVert = raiz(2t)^2 + 2^2 = raiz4t^2+4 = 2raizt^2+1

Passo 3

Na parametrização temos
;x(t),y(t) = t^2cdot 2t = 2,t^3,
portanto a integral de linha vira
integral0^1 x(t),y(t),llVert r'(t)rrVert ,dt = integral0^1 l(2t^3r),l(2raizt^2+1r),dt = 4integral0^1 t^3raizt^2+1,dt

Passo 4

Para calcular
4integral0^1 t^3raizt^2+1,dt,
faço a substituição
u = t^2+1 Longrightarrow du = 2t,dt Longrightarrow t^3,dt = t^2,t,dt = (u-1),du2
Assim
4integral0^1 t^3raizt^2+1,dt = 4integralu(0)=1^u(1)=2 (u-1),raizu,du2 = 2integral1^2l(u^3/2-u^1/2r),du
Integramos termo a termo:
2l[u^5/2tfrac52 - u^3/2tfrac32r]1^2 = 2l[tfrac25u^5/2 - tfrac23u^3/2r]1^2 = l[tfrac45u^5/2 - tfrac43u^3/2r]1^2
Em u=2 isso vale
tfrac45,2^5/2 ;-;tfrac43,2^3/2 = raiz2,l(tfrac165-tfrac83r) = tfrac8raiz215,
e em u=1 vale
tfrac45-tfrac43=-tfrac815
Subtraindo, obtemos
tfrac8raiz215 - l(-tfrac815r) = tfrac815l(raiz2+1r)

Resposta

integralC x,y,ds = 815l(raiz2+1r)

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