Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC(x-2 y^2) d y,
C é o arco da parábola y=x^2 de (-2,4) a (1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC (x - 2y^2),dy, sendo C o arco da parábola y = x^2 de (-2,4) até (1,1). O conteúdo envolve integrais de linha para campos escalares e vamos precisar parametrizar a curva, expressar dy em função do parâmetro, substituir no integrando e então integrar.

Passo 2

Parametrizamos a curva C por x = t e y = t^2. Os limites de t vão de -2 (que dá y=4) até 1 (que dá y=1). Calculamos também dy:
dy = ddt(t^2),dt = 2t,dt

Passo 3

Substituímos no integrando. Temos x - 2y^2 = t - 2(t^2)^2 = t - 2t^4, logo
integralC (x - 2y^2),dy = integralt=-2^1 l(t - 2t^4r) cdot (2t),dt = integral-2^1 (2t^2 - 4t^5),dt

Passo 4

Calculamos a antiderivada de 2t^2 - 4t^5:
F(t) = integral (2t^2 - 4t^5),dt = 23t^3 - 23t^6 + C

Passo 5

Agora avaliamos de t=-2 a t=1:
F(1) = 23cdot1^3 - 23cdot1^6 = 0,
F(-2) = 23cdot(-2)^3 - 23cdot(-2)^6 = -163 - 1283 = -48

Passo 6

Portanto,
integralC (x - 2y^2),dy = F(1) - F(-2) = 0 - (-48) = 48

Resposta

48

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