1. z=3 x-2 y ; x=u+v ln u, y=u^2-v ln v

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de uma função composta, ou seja, temos z=3x-2y com x=x(u,v) e y=y(u,v), então vamos usar a regra da cadeia para obter partial zpartial u e partial zpartial v.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z=3x-2y, temos: partial zpartial x=3, partial zpartial y=-2

Passo 3

Agora, derivamos x=u+vln u em relação a u e v. Usando derivada de ln u: partial xpartial u=1+vcdot1u, partial xpartial v=ln u

Passo 4

Em seguida, derivamos y=u^2-vln v em relação a u e v. Para y: partial ypartial u=2u, partial ypartial v=-l(ln v+1r)

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial u: partial zpartial u=partial zpartial xpartial xpartial u+partial zpartial ypartial ypartial u =3l(1+vur)-2,(2u)

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial v: partial zpartial v=partial zpartial xpartial xpartial v+partial zpartial ypartial ypartial v =3ln u-2l(-ln v-1r)

Resposta

partial zpartial u=3+3vu-4u, partial zpartial v=3ln u+2ln v+2

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