Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
g(t)=sen t cos t i+e^-2 t j

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdos necessários: Temos a função vetorial vec g(t)=sin tcos t,vec i + e^-2t,vec j. O objetivo é calcular vec g,'(t). Vamos usar a regra do produto para a componente em vec i e a regra da cadeia para a componente em vec j.

Passo 2

Derivação da primeira componente com a regra do produto: Defina f(t)=sin t e h(t)=cos t. Então f'(t)=cos t e h'(t)=-sin t. Pela regra do produto,
ddt[sin tcos t] = f'(t),h(t) + f(t),h'(t) = cos tcdotcos t + sin tcdot(-sin t) = cos^2 t - sin^2 t

Passo 3

Derivação da segunda componente com a regra da cadeia: Para phi(t)=e^-2t, temos phi'(t)=(-2),e^-2t = -2e^-2t

Passo 4

Montagem do vetor derivada: Juntando as componentes que obtivemos, chegamos a
$\vec g,

Passo 5

t) = (\cos^2 t - \sin^2 t),\vec i + (-2e^{-2t}),\vec j.$

Resposta

vec g,'(t)= (cos^2 t - sin^2 t),vec i - 2e^-2t,vec j

Exercícios relacionados