Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralc x y z^2 d s, C é o segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC x y z^2,ds, onde C é o segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4). O conteúdo é integral de linha de campo escalar, e vamos precisar parametrizar a curva e usar ds=|r'(t)|,dt.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por r(t)=(-1,5,0)+tl((1,6,4)-(-1,5,0)r), para 0<= t<=1. Assim:
r(t)=(-1+2t,;5+t,;4t),
e
r'(t)=(2,1,4)

Passo 3

Calculamos
|r'(t)|=raiz2^2+1^2+4^2=raiz21,
correspondendo a ds=raiz21,dt.

Passo 4

Expressamos o integrando em função de t:
x(t)=-1+2t, y(t)=5+t, z(t)=4t,
portanto
f(r(t))=x(t)y(t)z(t)^2=(-1+2t)(5+t)(4t)^2=16t^2(-1+2t)(5+t)

Passo 5

Montamos a integral em t:
integralC x y z^2,ds=integral0^1 16t^2(-1+2t)(5+t),raiz21,dt =16raiz21integral0^1 t^2(-1+2t)(5+t),dt
Expandindo o polinômio:
t^2(-1+2t)(5+t)=-5t^2+9t^3+2t^4,
o que dá
integral0^1(-5t^2+9t^3+2t^4),dt=-53+94+25=5960

Passo 6

Multiplicando pelo fator externo:
integralC x y z^2,ds=16raiz21cdot5960=23615raiz21

Resposta

23615raiz21

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