Seja ( f: R^2 R a função definida por
(f(x, y)=1+x^-2 x^2-2 y^2 )
Assinale a alternativa correta.
(1 é valor máximo local de (f e (-12 e^-1 / 2 é valor mínimo local de (f .
(1+12 e^-1 / 2 é valor máximo local de (f e (1-12 e^-1 / 2 é valor mínimo local de (f .
  • A função (f tem dois pontos de sela.
    (1+12 e^-1 / 2 é valor máximo local de (f e (-12 e^-1 / 2 é valor mínimo local de (f .
    (1+12 e^-1 / 2 é valor mínimo local de (f e (1-12 e^-1 / 2 é valor máximo local de (f .

Passo 1

O enunciado pede para identificar e classificar os pontos críticos da função f:R^2toR dada por f(x,y)=1 + x e^-2x^2-2y^2. Vamos encontrar onde o gradiente se anula e usar o Hessiano para classificar esses pontos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=e^-2(x^2+y^2)+xl(-4xr)e^-2(x^2+y^2)=e^-2r^2(1-4x^2),
partial fpartial y=xl(-4yr)e^-2(x^2+y^2)=-4xy,e^-2r^2,
onde r^2=x^2+y^2. Para anular o gradiente, de partial f/partial y=0 vem x=0 ou y=0. Se x=0, então partial f/partial x=e^-2y^2neq0, não gera ponto crítico. Logo y=0. Em partial f/partial x=0 temos 1-4x^2=0, ou seja x=pm1/2. Os pontos críticos são (1/2,0) e (-1/2,0).

Passo 3

No ponto (1/2,0) a função vale
fl(tfrac12,0r)=1+tfrac12,e^-2cdot(1/2)^2=1+tfrac12,e^-1/2,
e em (-1/2,0) vale
fl(-tfrac12,0r)=1-tfrac12,e^-1/2

Passo 4

Para classificar, calculamos os segundos derivadas em cada ponto. No geral obtemos
fxx=4x,e^-2r^2(4x^2-3), fyy=-4x,e^-2r^2(1-4y^2), fxy=0 em y=0
Em (1/2,0) ocorre fxx=-4e^-1/2<0 e fyy=-2e^-1/2<0, Hessiano definido negativo → ponto de máximo local.
Em (-1/2,0) temos fxx=4e^-1/2>0 e fyy=2e^-1/2>0, Hessiano definido positivo → ponto de mínimo local.

Passo 5

Portanto, f tem um único máximo local em (1/2,0) com valor 1+tfrac12e^-1/2 e um único mínimo local em (-1/2,0) com valor 1-tfrac12e^-1/2.

Resposta

1+tfrac12e^-1/2 é valor máximo local de f e 1-tfrac12e^-1/2 é valor mínimo local de f.

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