Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x y z d s;
C: x=2 t, y=3 sen t, z=3 cos t, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC x,y,z,ds
onde C é dada pela parametrização
x=2t, y=3sin t, z=3cos t, 0<= t<= pi2
Para uma função escalar f(x,y,z) e curva parametrizada por r(t), usamos
integralC f(x,y,z),ds = integrala^b fl( r(t)r),l| r'(t)r|,dt

Passo 2

Calcular r'(t) e seu módulo.
r(t) = (2t,;3sin t,;3cos t), r'(t) = l(2,;3cos t,;-3sin tr)
Portanto,
l| r'(t)r| = raiz2^2 + (3cos t)^2 +(-3sin t)^2 = raiz4 + 9(cos^2t + sin^2t) = raiz13

Passo 3

Avaliar o integrando f( r(t)) = x,y,z:
x,y,z = (2t),(3sin t),(3cos t) = 18,t,sin t,cos t

Passo 4

Substituindo na fórmula da integral de linha, temos
integralC x,y,z,ds = integral0^pi/2 18,t,sin t,cos t;raiz13,dt = 18raiz13,integral0^pi/2 t,sin t,cos t,dt

Passo 5

Calcular integral0^pi/2 t,sin t,cos t,dt. Note que
sin t,cos t = tfrac12sin(2t), então
integral0^pi/2 t,sin t,cos t,dt = tfrac12integral0^pi/2 t,sin(2t),dt
Fazendo integração por partes com u=t, dv=sin(2t),dt, obtemos v=-tfrac12cos(2t) e
integral0^pi/2 t,sin(2t),dt = l[-tfrac t2cos(2t)r]0^pi/2 + tfrac12integral0^pi/2cos(2t),dt
O primeiro termo é tfracpi4 e o segundo é zero, logo
integral0^pi/2 t,sin(2t),dt = tfracpi4 Longrightarrow integral0^pi/2 t,sin t,cos t,dt = tfrac12cdottfracpi4 = tfracpi8

Passo 6

Voltando à integral principal:
integralC x,y,z,ds = 18raiz13,cdottfracpi8 = 18piraiz138 = 9piraiz134

Resposta

9piraiz134

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