Resolva o problema de valor inicial.
18. d yd x+4 y-e^-x=0, y(0)=43

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
dydx + 4y - e^-x = 0
com a condição inicial y(0)=tfrac43.
O conteúdo é resolução de EDO linear de primeira ordem usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x),
onde aqui P(x)=4 e Q(x)=e^-x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp(4x)

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x), temos
e^4xdydx + 4e^4xy = e^4xe^-x = e^3x
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(y,e^4xr) = e^3x

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
y,e^4x = integral e^3x,dx = 13e^3x + C

Passo 6

Isolando y, obtemos
y = 13e^3xe^-4x + C,e^-4x = 13e^-x + C,e^-4x

Passo 7

Usamos a condição y(0)=tfrac43:
13 + C = 43 Longrightarrow C = 1

Resposta

y(x) = 13e^-x + e^-4x

Exercícios relacionados