Find a polar equation for the curve represented by the given Cartesian equation.
x y=4

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva dada em coordenadas cartesianas, cuja equação é
x,y = 4,
para uma equação em coordenadas polares (r,theta). Vamos usar as relações de conversão
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 2

Substituímos x e y pela forma polar na equação x,y=4:
(rcostheta),(rsintheta) = 4
Isso dá
r^2costhetasintheta = 4

Passo 3

Para isolar r, usamos a identidade trigonométrica
sin(2theta) = 2sinthetacostheta Longrightarrow costhetasintheta = sin(2theta)2
Então a equação fica
r^2 ,sin(2theta)2 = 4 Longrightarrow r^2,sin(2theta) = 8

Passo 4

Isolando r^2, obtemos a forma final em coordenadas polares:
r^2 = 8sin(2theta),
ou, se preferir,
r = raiz8sin(2theta)

Resposta

r^2 = 8sin(2theta)

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