Encontre o comprimento de arco das curvas dada abaixo:
Encontrar a integral que dá o comprimento de arco total da curva dada.
r=3 sen(3 theta)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
r(theta)=3sen(3theta)
e pede a integral que fornece o comprimento de arco total. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco em polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, o comprimento de arco de ;r(theta); entre theta=a e theta=b é dado por
L=integrala^braizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2;dtheta

Passo 3

Calculamos a derivada de r:
r'(theta)=ddthetal(3sen(3theta)r) =3cdot3cos(3theta)=9cos(3theta)

Passo 4

A curva r=3sen(3theta) gera três pétalas quando theta varia de 0 a pi. Portanto, para cobrir toda a curva sem sobreposição, tomamos a=0 e b=pi.

Passo 5

Substituindo r e r' na fórmula de comprimento de arco, obtemos
L =integral0^pi raizl(3sen(3theta)r)^2 +l(9cos(3theta)r)^2 ;dtheta =integral0^pi raiz9sen^2(3theta)+81cos^2(3theta) ;dtheta

Resposta

L =integral0^pi raiz9sen^2(3theta)+81cos^2(3theta) ;dtheta

Exercícios relacionados