Determine o campo gradiente
das funções dadas abaixo.
(d)
,
(d)
Passo 1
Então, a gente tem o exercício de encontrar o campo gradiente da função $ f(x, y, z) = x^{3} y - y^{3} z + z^{3} x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre gradientes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que a gente denota por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que vamos tratar $ y $ e $ z $ como constantes e derivar cada termo da função em relação a $ x $.
A função $ f(x, y, z) $ tem três termos:
- $ x^{3} y $: Ao derivar em relação a $ x $, o $ y $ fica como constante. A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $, então temos $ 3x^{2} y $.
- $ -y^{3} z $: Esse termo não tem $ x $, então a derivada em relação a $ x $ é 0.
- $ z^{3} x $: Derivando em relação a $ x $, o $ z^{3} $ é constante, então a derivada é $ z^{3} $.
Somando tudo, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes.
- $ x^{3} y $: Derivando em relação a $ y $, o $ x^{3} $ é constante, então a derivada é $ x^{3} $.
- $ -y^{3} z $: Derivando, temos $ -3y^{2} z $.
- $ z^{3} x $: Não tem $ y $, então a derivada é 0.
Somando tudo:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes.
- $ x^{3} y $: Não tem $ z $, então a derivada é 0.
- $ -y^{3} z $: Derivando em relação a $ z $, temos $ -y^{3} $.
- $ z^{3} x $: Derivando, ficamos com $ 3z^{2} x $.
Somando tudo:
Resposta
Portanto, o campo gradiente de $ f(x, y, z) $ é dado por: