^a Questão.
Calcule integralC x^2+y^2 d s com C sendo a curva r(t)=(a(cos t+t sin t), a(sin t-t cos t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar sobre a curva

, ou seja
.
O conteúdo é integral de linha de função escalar, então precisamos parametrizar a função e o elemento de arco.

Passo 2

Substituímos a parametrização na função escalar para obter
x^2+y^2 = a^2l((cos t + tsin t)^2 + (sin t - tcos t)^2r)
Expandindo e simplificando (usando cos^2t+sin^2t=1), encontramos
x^2+y^2 = a^2(1 + t^2)

Passo 3

Calculamos agora a derivada da curva e o elemento de arco. Temos
vec r,'(t) = l(a(-sin t + sin t + tcos t),;a(cos t - cos t + tsin t)r) = (a tcos t,;a tsin t)
e portanto
ds = |vec r,'(t)|,dt = a,t,dt

Passo 4

Montamos então a integral paramétrica:
integralC x^2+y^2,ds = integral0^2pi a^2(1+t^2)cdot (a t),dt = a^3 integral0^2pi(t + t^3),dt
Para resolver, usamos a primitiva
integral(t + t^3),dt = t^22 + t^44
e avaliamos de 0 a 2pi:
integral0^2pi(t + t^3),dt = [t^22 + t^44]0^2pi = (2pi)^22 + (2pi)^44 = 2pi^2 + 4pi^4
Multiplicando por a^3, obtemos o resultado final.

Passo 5

Resposta

2a^3pi^2(1+2pi^2)

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