Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(k)
,
é o segmento de reta de
a
.
(k)
Passo 1
Vamos calcular uma integral de linha de uma função escalar usando a definição
. Aqui temos
e
é o segmento de reta de
a
.
Passo 2
Precisamos parametrizar o segmento reto. Uma parametrização natural é
, com
. Assim: x(t)=t e z(t)=3t. Além disso, calculamos o comprimento do vetor derivada:
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Passo 3
Substituindo na integral:
[
\int_C x e^{x z},ds
=\int_0^1 \bigl(t e^{t\cdot3t}\bigr),\sqrt{14},dt
=\sqrt{14}\int_0^1 t e{3t2},dt.
\int_C x e^{x z},ds
=\int_0^1 \bigl(t e^{t\cdot3t}\bigr),\sqrt{14},dt
=\sqrt{14}\int_0^1 t e{3t2},dt.
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
, então
e
. Quando
,
e quando
,
. A integral fica: