Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(k) integralC x e^x z d s, C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 1

Vamos calcular uma integral de linha de uma função escalar usando a definição integralC f,ds = integrala^b fl(r(t)r),lvert r'(t)rvert,dt. Aqui temos f(x,y,z)=x e^xz e C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 2

Precisamos parametrizar o segmento reto. Uma parametrização natural é r(t)=(t,2t,3t), com tin[0,1]. Assim: x(t)=t e z(t)=3t. Além disso, calculamos o comprimento do vetor derivada:
r'(t)=(1,2,3),
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lvert r'(t)rvert=raiz1^2+2^2+3^2=raiz14

Passo 3

Substituindo na integral:
[
\int_C x e^{x z},ds
=\int_0^1 \bigl(t e^{t\cdot3t}\bigr),\sqrt{14},dt
=\sqrt{14}\int_0^1 t e{3t2},dt.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u=3t^2, então du=6t,dt e t,dt=du/6. Quando t=0, u=0 e quando t=1, u=3. A integral fica:
raiz14integral0^1 t e^3t^2,dt =raiz14integral0^3 e^udu6 =raiz146l[e^ur]0^3 =raiz146(e^3-1)

Resposta

raiz146(e^3-1)

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