Suponha que lim x p f(x)=L. Prove que existem r>0 e M>0 tais que, para todo x in Df
0<|x-p|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se o limite de uma função $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ p $ é igual a $ L $, então existem números positivos $ r $ e $ M $ que garantem que, para qualquer $ x $ dentro desse intervalo $ r $ ao redor de $ p $ (mas diferente de $ p $), o valor absoluto de $ f(x) $ não passa de $ M $. Isso envolve conceitos de limites e propriedades de funções limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que $ \lim_{x \rightarrow p} f(x) = L $. Isso quer dizer que, à medida que $ x $ se aproxima de $ p $, os valores de $ f(x) $ ficam cada vez mais próximos de $ L $. Em termos mais precisos, para qualquer pequeno número positivo $ \epsilon $, conseguimos encontrar uma vizinhança ao redor de $ p $ (definida por $ \delta $) onde todos os valores de $ f(x) $ estão dentro de $ \epsilon $ de $ L $.

Passo 3

Vamos escolher $ \epsilon = 1 $ para facilitar. Com essa escolha, sabemos que existe um $ \delta > 0 $ tal que, se $ 0 < |x - p| < \delta $, então $ |f(x) - L| < 1 $. Isso significa que $ f(x) $ está dentro do intervalo $ (L - 1, L + 1) $.

Passo 4

Agora, vamos usar essa informação para encontrar $ M $. Sabemos que $ |f(x) - L| < 1 $ implica que:
M
Então, podemos definir $ M = |L| + 1 $. Além disso, já temos $ r = \delta $ a partir da escolha anterior.

Resposta

Portanto, existem $ r = \delta > 0 $ e $ M = |L| + 1 > 0 $ tais que, para todo $ x $ no domínio de $ f $ com $ 0 < |x - p| < r $, temos $ |f(x)| \leq M $.

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