Determine os pontos críticos de.
Passo 1
Então, temos o exercício de encontrar os pontos críticos da função $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} + x^{2}y + 4 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero ou não existem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
Aqui, diferenciamos $ x^{2} $ em relação a $ x $ e tratamos $ y $ como uma constante.
Passo 3
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Neste caso, diferenciamos $ y^{2} $ em relação a $ y $ e tratamos $ x^{2} $ como uma constante.
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Isso nos dá um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação:
Isso implica que $ x = 0 $ ou $ y = -1 $.
Passo 6
Primeiro, consideramos $ x = 0 $ e substituímos na segunda equação:
Então, um ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 7
Agora, consideramos $ y = -1 $ e substituímos na segunda equação:
Portanto, temos dois pontos críticos adicionais: $ (\sqrt{2}, -1) $ e $ (-\sqrt{2}, -1) $.
Resposta
Os pontos críticos da função $ g(x, y) $ são $ (0, 0) $, $ (\sqrt{2}, -1) $ e $ (-\sqrt{2}, -1) $.