Determine os pontos críticos de.
g(x, y)=x^2+y^2+x^2 y+4

Passo 1

Então, temos o exercício de encontrar os pontos críticos da função $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} + x^{2}y + 4 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero ou não existem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
g(x, y)
Aqui, diferenciamos $ x^{2} $ em relação a $ x $ e tratamos $ y $ como uma constante.

Passo 3

Agora, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
y
Neste caso, diferenciamos $ y^{2} $ em relação a $ y $ e tratamos $ x^{2} $ como uma constante.

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
2x + 2xy = 0 2y + x^2 = 0
Isso nos dá um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação:
2x + 2xy = 0 Rightarrow 2x(1 + y) = 0
Isso implica que $ x = 0 $ ou $ y = -1 $.

Passo 6

Primeiro, consideramos $ x = 0 $ e substituímos na segunda equação:
x = 0
Então, um ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 7

Agora, consideramos $ y = -1 $ e substituímos na segunda equação:
y = -1
Portanto, temos dois pontos críticos adicionais: $ (\sqrt{2}, -1) $ e $ (-\sqrt{2}, -1) $.

Resposta

Os pontos críticos da função $ g(x, y) $ são $ (0, 0) $, $ (\sqrt{2}, -1) $ e $ (-\sqrt{2}, -1) $.

Exercícios relacionados