Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(2,0 pt) \int_{C} x^{2} y d s, \quad C é o segmento de reta que liga (0,1) a (2,4).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de uma função escalar sobre um segmento de reta. O conteúdo é integral de linha de f(x,y)=x^2y com elemento de arco ds. Para resolver, precisamos parametrizar a reta que vai de (0,1) a (2,4), calcular ds e então avaliar
\int_C x^2y\,ds.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
\mathbf r(t) = (x(t),y(t)) = (0,1) + t\bigl((2,4)-(0,1)\bigr) = (2t,\;1+3t),
com t\in[0,1]. Então
x(t)=2t,\quad y(t)=1+3t,
e
\mathbf r'(t) = (2,3),\quad \|\mathbf r'(t)\| = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}.
Logo
ds = \|\mathbf r'(t)\|\,dt = \sqrt{13}\,dt.

Passo 3

Substituímos na integral:
x^2y\,ds = \bigl(2t\bigr)^2\bigl(1+3t\bigr)\,\sqrt{13}\,dt = \sqrt{13}\,\bigl(4t^2+12t^3\bigr)\,dt.
Assim,
\int_C x^2y\,ds = \int_{0}^{1}\sqrt{13}\,\bigl(4t^2+12t^3\bigr)\,dt = \sqrt{13}\,\Bigl[4\int_0^1 t^2\,dt +12\int_0^1 t^3\,dt\Bigr].

Passo 4

Calculamos as integrais em t:
\int_0^1 t^2\,dt = \frac{1}{3}, \qquad \int_0^1 t^3\,dt = \frac{1}{4}.
Substituindo,
\int_C x^2y\,ds = \sqrt{13}\,\Bigl[4\cdot\frac{1}{3} + 12\cdot\frac{1}{4}\Bigr] = \sqrt{13}\,\Bigl(\frac{4}{3}+3\Bigr) = \sqrt{13}\,\frac{13}{3} = \frac{13\sqrt{13}}{3}.

Resposta

\frac{13\sqrt{13}}{3}.

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