Questão 4.

\qquad
(2,0 pt) Sejam \vec{F}(x, y)=\left(x y+e^{y}\right) \vec{i}+\left(y^{2}+\ln \left(1+x^{2}\right)\right) \vec{j} e C a curva dada pelo segmento do gráfico y=x^{3} que vai de (0,0) ao ponto (1,1). Calcule
\int_{C} \nabla \cdot \vec{F}(x, y) d s

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\bigl(xy+e^{y}\bigr)\,\vec{i}+\bigl(y^{2}+\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\bigr)\,\vec{j}
e a curva C é o arco do gráfico y=x^{3} de (0,0) até (1,1). Pede-se calcular a integral de linha
\int_{C}\nabla\cdot\vec{F}(x,y)\,ds,
que é a integral ao longo de C da divergência de \vec{F}, onde ds é o elemento de comprimento de arco.

Passo 2

Vamos primeiro achar a divergência de \vec{F}. Por definição,
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+e^{y}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+\ln(1+x^{2})\bigr).
Calculando cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(xy+e^{y})=y, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}+\ln(1+x^{2}))=2y.
Logo,
\nabla\cdot\vec{F}(x,y)=y+2y=3y.

Passo 3

Parametrizamos C por
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^{3}\bigr), \quad 0\le t\le1.
Então y=t^{3} e o elemento de arco é
ds=\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt =\sqrt{\bigl(1\bigr)^{2}+\bigl(3t^{2}\bigr)^{2}}\;dt =\sqrt{1+9t^{4}}\;dt.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int_{C}\nabla\cdot\vec{F}\,ds =\int_{0}^{1}3\,y\,\sqrt{1+9t^{4}}\;dt =\int_{0}^{1}3\,t^{3}\,\sqrt{1+9t^{4}}\;dt.

Passo 5

Fazemos a substituição
u=1+9t^{4}, \quad du=36\,t^{3}\,dt,
de modo que t=0\mapsto u=1 e t=1\mapsto u=10. A integral vira
\int_{0}^{1}3\,t^{3}\sqrt{1+9t^{4}}\,dt =3\int_{1}^{10}\frac{\sqrt{u}}{36}\,du =\frac{1}{12}\int_{1}^{10}u^{\tfrac12}\,du.

Passo 6

Calculamos a integral em u:
\int_{1}^{10}u^{\tfrac12}\,du =\left[\frac{2}{3}u^{\tfrac32}\right]_{1}^{10} =\frac{2}{3}\bigl(10^{\tfrac32}-1\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr).
Multiplicando por \tfrac{1}{12} resulta
\frac{1}{12}\cdot\frac{2}{3}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr) =\frac{1}{18}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr).

Resposta

\int_{C}\nabla\cdot\vec{F}(x,y)\,ds =\frac{10\sqrt{10}-1}{18}.

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