Questão 4.
(2,0 pt) Sejam
e
a curva dada pelo segmento do gráfico
que vai de
ao ponto
. Calcule
(2,0 pt) Sejam
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
e a curva
é o arco do gráfico
de
até
. Pede-se calcular a integral de linha
que é a integral ao longo de
da divergência de
, onde
é o elemento de comprimento de arco.
Passo 2
Vamos primeiro achar a divergência de
. Por definição,
Calculando cada derivada:
Logo,
Passo 3
Parametrizamos
por
Então
e o elemento de arco é
Passo 4
Substituindo na integral, temos
Passo 5
Fazemos a substituição
de modo que
e
. A integral vira
Passo 6
Calculamos a integral em
:
Multiplicando por
resulta