Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(2,0 pt)
é a metade superior do círculo
de
a
.
(2,0 pt)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo de
, que é a metade superior do círculo
indo de
até
. Como a curva está num domínio simplesmente conexo e a forma é da forma
, vamos verificar se ela é conservativa (exata) e, em caso afirmativo, usar um potencial para calcular a integral.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Para determinar
, usamos
:
Logo, podemos escolher
Passo 4
Como a forma é conservativa, a integral de linha independe do caminho e vale
Calculamos:
Portanto,