Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(2,0 pt) \int_{C} x^{2} d x+y^{2} d y, \quad C é a metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) a (-2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2}\,d x + y^{2}\,d y
ao longo de C, que é a metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=4 indo de (2,0) até (-2,0). Como a curva está num domínio simplesmente conexo e a forma é da forma P(x,y)\,d x + Q(x,y)\,d y, vamos verificar se ela é conservativa (exata) e, em caso afirmativo, usar um potencial para calcular a integral.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^{2}, \quad Q(x,y)=y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=0.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, a forma é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=P(x,y)=x^{2}, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y)=y^{2}.
Integramos P em relação a x:
F(x,y)=\int x^{2}\,d x = \frac{x^{3}}{3} + h(y).
Para determinar h(y), usamos \partial F/\partial y = y^{2}:
\frac{d}{d y}\biggl(\frac{x^{3}}{3}+h(y)\biggr)=h'(y)=y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int y^{2}\,d y=\frac{y^{3}}{3}.
Logo, podemos escolher
F(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{3}.

Passo 4

Como a forma é conservativa, a integral de linha independe do caminho e vale
\int_{C} x^{2}\,d x + y^{2}\,d y = F\bigl(-2,0\bigr)-F\bigl(2,0\bigr).
Calculamos:
F(-2,0)=\frac{(-2)^{3}}{3}+\frac{0^{3}}{3}=-\frac{8}{3}, \quad F(2,0)=\frac{2^{3}}{3}+\frac{0^{3}}{3}=\frac{8}{3}.
Portanto,
\int_{C} x^{2}\,d x + y^{2}\,d y =-\frac{8}{3}-\frac{8}{3} =-\frac{16}{3}.

Resposta

-\frac{16}{3}

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