Calcule a integral de linha integralgamma F cdot d r onde a curva gamma é dada.
F(x, y, z)=(x+y, y-z, z^2), gamma(t)=(t^2, t^3, t^2), t in[0,1],

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralgammaFcdot dr
onde F(x,y,z)=(x+y,;y-z,;z^2) e gamma(t)=(t^2,t^3,t^2), tin[0,1].
Para isso vamos:
  1. parametrizar a curva por gamma(t),
  2. calcular gamma'(t),
  3. avaliar F em gamma(t),
  4. fazer o produto escalar F(gamma(t))cdotgamma'(t),
  5. integrar de 0 a 1.

Passo 2

Calcular a derivada de gamma(t).
gamma(t)=(t^2,;t^3,;t^2) Longrightarrow gamma'(t)=(2t,;3t^2,;2t)

Passo 3

Avaliar F na curva gamma(t).
F(gamma(t)) =(,t^2+t^3,;t^3-t^2,;(t^2)^2) =(,t^2+t^3,;t^3-t^2,;t^4)

Passo 4

Calcular o integrando via produto escalar:
F(gamma(t))cdotgamma'(t) =(t^2+t^3)cdot2t+(t^3-t^2)cdot3t^2+t^4cdot2t =2t^3+2t^4+3t^5-3t^4+2t^5 =2t^3 - t^4 + 5t^5

Passo 5

Integrar de 0 a 1:
integral0^1(2t^3 - t^4 + 5t^5),dt =2cdot14-15+5cdot16 =12-15+56 =15-6+2530 =3430 =1715

Resposta

1715

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