Se
é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por
, então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definido por:
e
Determine o momento de inércia de cada sólido em relação ao eixo indicado supondo que a densidade é
constante.
em relação ao eixo dos
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um cilindro de raio
e altura
, cujo domínio é
em torno do eixo
, supondo densidade constante
. O conteúdo que vamos usar é a definição
com
.
Passo 2
Substituindo
na definição, temos
Passo 3
Para integrar sobre o cilindro, passemos a coordenadas cilíndricas
com
onde
,
,
. Note que
Logo
Passo 4
Separe a integral em dois termos:
com
Calcule
:
logo
Calcule
:
logo
Portanto