Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w=f(x, y, z), então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definido por:
Ix=integral triplaW(y^2+z^2) f(x, y, z) d x d y d z, Iy=integral triplaW(x^2+z^2) f(x, y, z) d x d y d z e
Iz=integral triplaW(x^2+y^2) f(x, y, z) d x d y d z
Determine o momento de inércia de cada sólido em relação ao eixo indicado supondo que a densidade é K constante.
W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2 <= a^2, 0 <= z <= h em relação ao eixo dos x

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um cilindro de raio a e altura h, cujo domínio é
W = (x,y,z)mid x^2+y^2<= a^2,;0<= z<= h,
em torno do eixo x, supondo densidade constante K. O conteúdo que vamos usar é a definição
Ix = integral triplaW(y^2+z^2),f(x,y,z),dx,dy,dz
com f(x,y,z)=K.

Passo 2

Substituindo f=K na definição, temos
Ix = Kintegral triplaW(y^2+z^2),dx,dy,dz

Passo 3

Para integrar sobre o cilindro, passemos a coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz,
onde 0<= r<= a, 0<=theta<=2pi, 0<= z<= h. Note que
y^2 = r^2sin^2theta, z^2 = z^2
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Ix = Kintegralz=0^h!integraltheta=0^2pi!integralr=0^al(r^2sin^2theta + z^2r),r,dr,dtheta,dz

Passo 4

Separe a integral em dois termos:
Ix = Kl(I1 + I2r)
com
I1 = integral0^h!integral0^2pi!integral0^ar^3sin^2theta,dr,dtheta,dz, I2 = integral0^h!integral0^2pi!integral0^az^2,r,dr,dtheta,dz
Calcule I1:
integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi, integral0^ar^3,dr = a^44, integral0^hdz = h,
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I1 = picdota^44cdot h = pi a^4 h4
Calcule I2:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^ar,dr = a^22, integral0^hz^2,dz = h^33,
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I2 = 2picdota^22cdoth^33 = pi a^2 h^33
Portanto
Ix = Kl(pi a^4 h4 + pi a^2 h^33r) = pi Kl(a^4 h4 + a^2 h^33r)

Resposta

Ix = pi Kl(a^4 h4 + a^2 h^33r)

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